Question

Se lanza un dado equilibrado cuatro veces. La probabilidad de que cada uno de los tres últimos lanzamientos sea al menos tan grande como el lanzamiento que lo precede puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A fair die is rolled four times. The probability that each of the final three rolls is at least as large as the roll preceding it may be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 79

Conceptos:probabilidad básica estrellas y barras biyección

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Toda colección de cuatro valores (con repeticiones permitidas) puede ordenarse en exactamente un orden no decreciente.

Every collection of four values (with repeats allowed) can be arranged in exactly one non-decreasing order

Pista grande:

Cuenta los multiconjuntos de tamaño $4$ de $\{1, \ldots, 6\}$ por estrellas y barras: $\binom{9}{4}$

Count multisets of size $4$ from $\{1, \ldots, 6\}$ by stars and bars: $\binom{9}{4}$

Solución:

Los lanzamientos deben formar una sucesión no decreciente. Todo multiconjunto de cuatro valores de $\{1, \ldots, 6\}$ puede ordenarse de forma no decreciente de exactamente una manera, así que el número de resultados favorables es igual al número de tales multiconjuntos. Por estrellas y barras (4 estrellas y $5$ separadores), ese conteo es $\binom{9}{4} = 126.$

La probabilidad es $\frac{126}{6^4} = \frac{126}{1296} = \frac{7}{72},$ así que $m + n = 7 + 72 = 79.$

The rolls must form a non-decreasing sequence. Every multiset of four values from $\{1, \ldots, 6\}$ can be arranged in non-decreasing order in exactly one way, so the number of successful outcomes equals the number of such multisets. By stars and bars (4 stars and $5$ dividers), that count is $\binom{9}{4} = 126.$

The probability is $\frac{126}{6^4} = \frac{126}{1296} = \frac{7}{72},$ so $m + n = 7 + 72 = 79.$

2001 AIME I Problema 6

Respuesta: 79

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años