Question

Charles tiene dos dados de seis caras. Uno de los dados es justo, y el otro dado está sesgado de modo que sale seis con probabilidad $\frac{2}{3},$ y cada una de las otras cinco caras tiene probabilidad $\frac{1}{15}.$ Charles elige uno de los dos dados al azar y lo lanza tres veces. Dado que las dos primeras tiradas son ambas seises, la probabilidad de que la tercera tirada sea también un seis es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Charles has two six-sided dice. One of the dice is fair, and the other die is biased so that it comes up six with probability $\frac{2}{3},$ and each of the other five sides has probability $\frac{1}{15}.$ Charles chooses one of the two dice at random and rolls it three times. Given that the first two rolls are both sixes, the probability that the third roll will also be a six is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 167

Conceptos:probabilidad condicional Teorema de Bayes dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

La respuesta es la probabilidad de tres seises dividida entre la probabilidad de dos seises, cada una promediada sobre los dos dados igualmente probables

The answer is the probability of three sixes divided by the probability of two sixes, each averaged over the two equally likely dice

Pista grande:

Dos seises seguidos hacen que el dado sesgado sea mucho más probable: pondera cada dado por su probabilidad de producir los dos seises observados antes de predecir la tercera tirada

Two sixes in a row make the biased die much more likely: weight each die by its chance of producing the observed two sixes before predicting the third roll

Solución:

La probabilidad condicional buscada es $\begin{aligned} &\frac{\Pr(\text{tres seises})}{\Pr(\text{los dos primeros son seises})} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3} {\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2}, \end{aligned}$ ya que cada dado se elige con probabilidad $\frac{1}{2}$ y el dado justo muestra un seis con probabilidad $\frac{1}{6}.$

El numerador es $\frac{1}{2}\left(\frac{8}{27} + \frac{1}{216}\right) = \frac{65}{432}$ y el denominador es $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{36}\right) = \frac{17}{72},$ así que la probabilidad es $\frac{65}{432} \cdot \frac{72}{17} = \frac{65}{102}.$

Como $65 = 5 \cdot 13$ y $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$ no comparten ningún factor, $p + q = 65 + 102 = 167.$

The desired conditional probability is $\begin{aligned} &\frac{\Pr(\text{three sixes})}{\Pr(\text{first two are sixes})} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3} {\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2}, \end{aligned}$ since each die is chosen with probability $\frac{1}{2}$ and the fair die shows a six with probability $\frac{1}{6}.$

The numerator is $\frac{1}{2}\left(\frac{8}{27} + \frac{1}{216}\right) = \frac{65}{432}$ and the denominator is $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{36}\right) = \frac{17}{72},$ so the probability is $\frac{65}{432} \cdot \frac{72}{17} = \frac{65}{102}.$

Since $65 = 5 \cdot 13$ and $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$ share no factor, $p + q = 65 + 102 = 167.$

2014 AIME II Problema 6

Respuesta: 167

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años