Question

La circunferencia $\omega_1$ de radio $6$ centrada en el punto $A$ es tangente internamente en el punto $B$ a la circunferencia $\omega_2$ de radio $15.$ Los puntos $C$ y $D$ están sobre $\omega_2$ de modo que $\overline{BC}$ es un diámetro de $\omega_2$ y $\overline{BC} \perp \overline{AD}.$ El rectángulo $EFGH$ está inscrito en $\omega_1$ de modo que $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ $C$ está más cerca de $\overline{GH}$ que de $\overline{EF},$ y $D$ está más cerca de $\overline{FG}$ que de $\overline{EH},$ como se muestra. Los triángulos $\triangle DGF$ y $\triangle CHG$ tienen áreas iguales. El área del rectángulo $EFGH$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Circle $\omega_1$ with radius $6$ centered at point $A$ is internally tangent at point $B$ to circle $\omega_2$ with radius $15.$ Points $C$ and $D$ lie on $\omega_2$ such that $\overline{BC}$ is a diameter of $\omega_2$ and $\overline{BC} \perp \overline{AD}.$ The rectangle $EFGH$ is inscribed in $\omega_1$ such that $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ $C$ is closer to $\overline{GH}$ than to $\overline{EF},$ and $D$ is closer to $\overline{FG}$ than to $\overline{EH},$ as shown. Triangles $\triangle DGF$ and $\triangle CHG$ have equal areas. The area of rectangle $EFGH$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Centra $\omega_2$ en el origen con $B = (15, 0).$ La tangencia interna en $B$ sitúa $A = (9, 0),$ y $C = (-15, 0).$ Como $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ y $D$ está sobre $\omega_2,$ obtenemos $D = (9, 12)$ (tomando $D$ por encima de la recta). Como $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ el rectángulo tiene lados verticales, así que sus vértices son $(9 \pm a, \pm b)$ con $a^2 + b^2 = 36.$ Las condiciones sobre $C$ y $D$ hacen que $\overline{GH}$ sea el lado izquierdo y $\overline{FG}$ el lado superior: $F = (9 + a, b),$ $G = (9 - a, b),$ $H = (9 - a, -b),$ $E = (9 + a, -b).$

El triángulo $DGF$ tiene base $GF = 2a$ y altura $12 - b,$ así que su área es $a(12 - b).$ El triángulo $CHG$ tiene base $GH = 2b$ y altura $(9 - a) - (-15) = 24 - a,$ así que su área es $b(24 - a).$ Igualándolas, $12a - ab = 24b - ab,$ por lo que $a = 2b,$ y entonces $a^2 + b^2 = 5b^2 = 36.$

El área del rectángulo es $2a \cdot 2b = 8b^2 = \frac{288}{5},$ así que $m + n = 288 + 5 = 293.$

Center $\omega_2$ at the origin with $B = (15, 0).$ Internal tangency at $B$ puts $A = (9, 0),$ and $C = (-15, 0).$ Since $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ and $D$ is on $\omega_2,$ we get $D = (9, 12)$ (taking $D$ above the line). Because $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ the rectangle has vertical sides, so its vertices are $(9 \pm a, \pm b)$ with $a^2 + b^2 = 36.$ The conditions on $C$ and $D$ make $\overline{GH}$ the left side and $\overline{FG}$ the top side: $F = (9 + a, b),$ $G = (9 - a, b),$ $H = (9 - a, -b),$ $E = (9 + a, -b).$

Triangle $DGF$ has base $GF = 2a$ and height $12 - b,$ so its area is $a(12 - b).$ Triangle $CHG$ has base $GH = 2b$ and height $(9 - a) - (-15) = 24 - a,$ so its area is $b(24 - a).$ Setting these equal, $12a - ab = 24b - ab,$ so $a = 2b,$ and then $a^2 + b^2 = 5b^2 = 36.$

The area of the rectangle is $2a \cdot 2b = 8b^2 = \frac{288}{5},$ so $m + n = 288 + 5 = 293.$

2025 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años