Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2025 AIME II Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2025 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

La circunferencia ω1\omega_1 de radio 66 centrada en el punto AA es tangente internamente en el punto BB a la circunferencia ω2\omega_2 de radio 15.15. Los puntos CC y DD están sobre ω2\omega_2 de modo que BC‾\overline{BC} es un diámetro de ω2\omega_2 y BC‾⊥AD‾.\overline{BC} \perp \overline{AD}. El rectángulo EFGHEFGH está inscrito en ω1\omega_1 de modo que EF‾⊥BC‾,\overline{EF} \perp \overline{BC}, CC está más cerca de GH‾\overline{GH} que de EF‾,\overline{EF}, y DD está más cerca de FG‾\overline{FG} que de EH‾,\overline{EH}, como se muestra. Los triángulos △DGF\triangle DGF y △CHG\triangle CHG tienen áreas iguales. El área del rectángulo EFGHEFGH es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.
Circle ω1\omega_1 with radius 66 centered at point AA is internally tangent at point BB to circle ω2\omega_2 with radius 15.15. Points CC and DD lie on ω2\omega_2 such that BC‾\overline{BC} is a diameter of ω2\omega_2 and BC‾⊥AD‾.\overline{BC} \perp \overline{AD}. The rectangle EFGHEFGH is inscribed in ω1\omega_1 such that EF‾⊥BC‾,\overline{EF} \perp \overline{BC}, CC is closer to GH‾\overline{GH} than to EF‾,\overline{EF}, and DD is closer to FG‾\overline{FG} than to EH‾,\overline{EH}, as shown. Triangles △DGF\triangle DGF and △CHG\triangle CHG have equal areas. The area of rectangle EFGHEFGH is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 293
Conceptos:geometría analíticacircunferencias tangentesrectánguloárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2650
Pista pequeña:
Usa coordenadas: centro de ω2\omega_2 en el origen, B=(15,0),B = (15, 0), A=(9,0),A = (9, 0), D=(9,12),D = (9, 12), y vértices del rectángulo (9±a,±b)(9 \pm a, \pm b) con a2+b2=36a^2 + b^2 = 36
Use coordinates: center of ω2\omega_2 at the origin, B=(15,0),B = (15, 0), A=(9,0),A = (9, 0), D=(9,12),D = (9, 12), and rectangle vertices (9±a,±b)(9 \pm a, \pm b) with a2+b2=36a^2 + b^2 = 36
Pista grande:
Las áreas de los dos triángulos son a(12−b)a(12 - b) y b(24−a);b(24 - a); al igualarlas los términos abab se cancelan
The two triangle areas are a(12−b)a(12 - b) and b(24−a);b(24 - a); setting them equal makes the abab terms cancel
Solución:
Centra ω2\omega_2 en el origen con B=(15,0).B = (15, 0). La tangencia interna en BB sitúa A=(9,0),A = (9, 0), y C=(−15,0).C = (-15, 0). Como AD‾⊥BC‾\overline{AD} \perp \overline{BC} y DD está sobre ω2,\omega_2, obtenemos D=(9,12)D = (9, 12) (tomando DD por encima de la recta). Como EF‾⊥BC‾,\overline{EF} \perp \overline{BC}, el rectángulo tiene lados verticales, así que sus vértices son (9±a,±b)(9 \pm a, \pm b) con a2+b2=36.a^2 + b^2 = 36. Las condiciones sobre CC y DD hacen que GH‾\overline{GH} sea el lado izquierdo y FG‾\overline{FG} el lado superior: F=(9+a,b),F = (9 + a, b), G=(9−a,b),G = (9 - a, b), H=(9−a,−b),H = (9 - a, -b), E=(9+a,−b).E = (9 + a, -b).
El triángulo DGFDGF tiene base GF=2aGF = 2a y altura 12−b,12 - b, así que su área es a(12−b).a(12 - b). El triángulo CHGCHG tiene base GH=2bGH = 2b y altura (9−a)−(−15)=24−a,(9 - a) - (-15) = 24 - a, así que su área es b(24−a).b(24 - a). Igualándolas, 12a−ab=24b−ab,12a - ab = 24b - ab, por lo que a=2b,a = 2b, y entonces a2+b2=5b2=36.a^2 + b^2 = 5b^2 = 36.
El área del rectángulo es 2a⋅2b=8b2=2885,2a \cdot 2b = 8b^2 = \frac{288}{5}, así que m+n=288+5=293.m + n = 288 + 5 = 293.
Center ω2\omega_2 at the origin with B=(15,0).B = (15, 0). Internal tangency at BB puts A=(9,0),A = (9, 0), and C=(−15,0).C = (-15, 0). Since AD‾⊥BC‾\overline{AD} \perp \overline{BC} and DD is on ω2,\omega_2, we get D=(9,12)D = (9, 12) (taking DD above the line). Because EF‾⊥BC‾,\overline{EF} \perp \overline{BC}, the rectangle has vertical sides, so its vertices are (9±a,±b)(9 \pm a, \pm b) with a2+b2=36.a^2 + b^2 = 36. The conditions on CC and DD make GH‾\overline{GH} the left side and FG‾\overline{FG} the top side: F=(9+a,b),F = (9 + a, b), G=(9−a,b),G = (9 - a, b), H=(9−a,−b),H = (9 - a, -b), E=(9+a,−b).E = (9 + a, -b).
Triangle DGFDGF has base GF=2aGF = 2a and height 12−b,12 - b, so its area is a(12−b).a(12 - b). Triangle CHGCHG has base GH=2bGH = 2b and height (9−a)−(−15)=24−a,(9 - a) - (-15) = 24 - a, so its area is b(24−a).b(24 - a). Setting these equal, 12a−ab=24b−ab,12a - ab = 24b - ab, so a=2b,a = 2b, and then a2+b2=5b2=36.a^2 + b^2 = 5b^2 = 36.
The area of the rectangle is 2a⋅2b=8b2=2885,2a \cdot 2b = 8b^2 = \frac{288}{5}, so m+n=288+5=293.m + n = 288 + 5 = 293.
Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

El Problema 6 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2026 AIME I · 2026 AIME II