Question

En una civilización marciana, se supone que todos los logaritmos cuyas bases no están especificadas tienen base

b,

para cierto valor fijo

b \ge 2.

Un estudiante marciano escribe

3\log(\sqrt{x}\log x) = 56

\log_{\log x}(x) = 54

y descubre que este sistema de ecuaciones tiene una única solución real

x \gt 1.

Halle

b.

In a Martian civilization, all logarithms whose bases are not specified are assumed to be base

b,

for some fixed

b \ge 2.

A Martian student writes down

3\log(\sqrt{x}\log x) = 56

\log_{\log x}(x) = 54

and finds that this system of equations has a single real number solution

x \gt 1.

Find

b.

Respuesta

Respuesta: 216

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Sea

y = \log_b x;

por la fórmula de cambio de base, la segunda ecuación dice

\log_b y = \frac{y}{54}

Let

y = \log_b x;

by the change-of-base formula the second equation says

\log_b y = \frac{y}{54}

Pista grande:

La primera ecuación se convierte en

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3};

sustituya

\log_b y = \frac{y}{54}

y despeje

y

The first equation becomes

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3};

substitute

\log_b y = \frac{y}{54}

and solve for

y

Solución:

Sea

y = \log_b x.

Por la fórmula de cambio de base,

\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54, \end{aligned}

así que

\log_b y = \frac{y}{54}.

La primera ecuación dice

3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56,

es decir,

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}.

Sustituyendo

\log_b y = \frac{y}{54}

se obtiene

\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3},

así que

\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}

y

y = 36.

Entonces

\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3},

por lo que

b^{\frac{2}{3}} = 36

y

b = 36^{\frac{3}{2}} = 216.

Let

y = \log_b x.

By the change-of-base formula,

\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54, \end{aligned}

so

\log_b y = \frac{y}{54}.

The first equation says

3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56,

that is,

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}.

Substituting

\log_b y = \frac{y}{54}

gives

\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3},

so

\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}

and

y = 36.

Then

\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3},

so

b^{\frac{2}{3}} = 36

and

b = 36^{\frac{3}{2}} = 216.

2019 AIME II Problema 6

Respuesta: 216

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años