Question

Halle la suma de todos los enteros positivos $n$ tales que $\sqrt{n^2 + 85n + 2017}$ es un entero.

Find the sum of all positive integers $n$ such that $\sqrt{n^2 + 85n + 2017}$ is an integer.

Respuesta

Solución:

Supongamos $n^2 + 85n + 2017 = m^2$ para un entero positivo $m.$ Multiplicando por $4$ y completando el cuadrado se obtiene $(2n + 85)^2 + 843 = 4m^2,$ así que $\begin{aligned} &(2m - 2n - 85)(2m + 2n + 85) \\ &= 843 = 3 \cdot 281, \end{aligned}$ donde $281$ es primo. Ambos factores son positivos con el segundo mayor, así que o bien $2m - 2n - 85 = 1$ y $2m + 2n + 85 = 843,$ o bien $2m - 2n - 85 = 3$ y $2m + 2n + 85 = 281.$

El primer sistema da $m = 211$ y $n = 168,$ y en efecto $168^2 + 85 \cdot 168 + 2017$ $= 44521 = 211^2.$ El segundo da $m = 71$ y $n = 27,$ con $27^2 + 85 \cdot 27 + 2017$ $= 5041 = 71^2.$

La suma pedida es $168 + 27 = 195.$

Suppose $n^2 + 85n + 2017 = m^2$ for a positive integer $m.$ Multiplying by $4$ and completing the square gives $(2n + 85)^2 + 843 = 4m^2,$ so $\begin{aligned} &(2m - 2n - 85)(2m + 2n + 85) \\ &= 843 = 3 \cdot 281, \end{aligned}$ where $281$ is prime. Both factors are positive with the second one larger, so either $2m - 2n - 85 = 1$ and $2m + 2n + 85 = 843,$ or $2m - 2n - 85 = 3$ and $2m + 2n + 85 = 281.$

The first system gives $m = 211$ and $n = 168,$ and indeed $168^2 + 85 \cdot 168 + 2017$ $= 44521 = 211^2.$ The second gives $m = 71$ and $n = 27,$ with $27^2 + 85 \cdot 27 + 2017$ $= 5041 = 71^2.$

The requested sum is $168 + 27 = 195.$

2017 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años