Question

Se circunscribe una circunferencia a un triángulo isósceles cuyos dos ángulos congruentes tienen medida en grados $x.$ Se eligen dos puntos independientemente y de manera uniforme al azar sobre la circunferencia, y se traza una cuerda entre ellos. La probabilidad de que la cuerda corte al triángulo es $\frac{14}{25}.$ Halla la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de $x.$

A circle is circumscribed around an isosceles triangle whose two congruent angles have degree measure $x.$ Two points are chosen independently and uniformly at random on the circle, and a chord is drawn between them. The probability that the chord intersects the triangle is $\frac{14}{25}.$ Find the difference between the largest and smallest possible values of $x.$

Respuesta

Solución:

Cada ángulo inscrito del triángulo subtiende un arco del doble de su medida, así que los vértices dividen la circunferencia en arcos de $2x,$ $2x,$ y $360 - 4x$ grados. La cuerda no corta al triángulo exactamente cuando ambos puntos aleatorios caen en el mismo arco, lo que tiene probabilidad $\begin{aligned} &\left(\frac{2x}{360}\right)^2 + \left(\frac{2x}{360}\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{360 - 4x}{360}\right)^2 \\ &= 1 - \frac{14}{25} = \frac{11}{25}. \end{aligned}$

Haciendo $y = \frac{x}{180},$ esto se lee $2y^2 + (1 - 2y)^2 = \frac{11}{25},$ que se simplifica a $75y^2 - 50y + 7 = 0,$ con raíces $y = \frac{1}{5}$ y $y = \frac{7}{15}.$ Estas dan $x = 36$ y $x = 84,$ ambos ángulos de base legítimos de un triángulo isósceles.

La diferencia pedida es $84 - 36 = 48.$

Each inscribed angle of the triangle subtends an arc of twice its measure, so the vertices split the circle into arcs of $2x,$ $2x,$ and $360 - 4x$ degrees. The chord fails to intersect the triangle exactly when both random points fall in the same arc, which has probability $\begin{aligned} &\left(\frac{2x}{360}\right)^2 + \left(\frac{2x}{360}\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{360 - 4x}{360}\right)^2 \\ &= 1 - \frac{14}{25} = \frac{11}{25}. \end{aligned}$

Setting $y = \frac{x}{180},$ this reads $2y^2 + (1 - 2y)^2 = \frac{11}{25},$ which simplifies to $75y^2 - 50y + 7 = 0,$ with roots $y = \frac{1}{5}$ and $y = \frac{7}{15}.$ These give $x = 36$ and $x = 84,$ both legitimate base angles of an isosceles triangle.

The requested difference is $84 - 36 = 48.$

2017 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años