Question

Halla el menor entero positivo $n$ con la propiedad de que el polinomio $x^4 - nx + 63$ se puede escribir como producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Find the smallest positive integer $n$ with the property that the polynomial $x^4 - nx + 63$ can be written as a product of two nonconstant polynomials with integer coefficients.

Respuesta

Solución:

Si hay un factor lineal, entonces algún entero $b$ es una raíz, así que $b^4 - nb + 63 = 0$ y $n = b^3 + \frac{63}{b},$ lo que obliga a $b \mid 63$ y $b \gt 0.$ El menor valor es $48,$ en $b = 3.$

En caso contrario el polinomio se descompone en dos cuadráticas, que podemos tomar mónicas; como el coeficiente de $x^3$ se anula, tienen la forma $\begin{aligned} &(x^2 + px + q)(x^2 - px + r) \\ &= x^4 + (q + r - p^2)x^2 \\ &\quad {}+ p(r - q)x + qr. \end{aligned}$ Igualar coeficientes da $q + r = p^2,$ $qr = 63,$ y $n = p(q - r).$ Los pares de factores de $63$ con suma cuadrada son $\{7, 9\}$ (suma $16,$ así que $p = 4$ ) y $\{1, 63\}$ (suma $64,$ así que $p = 8$ ), dando $n = 4 \cdot 2 = 8$ o $n = 8 \cdot 62 = 496.$

El menor valor positivo en total es $n = 8;$ en efecto $(x^2 + 4x + 9)(x^2 - 4x + 7)$ $= x^4 - 8x + 63.$

If there is a linear factor, then some integer $b$ is a root, so $b^4 - nb + 63 = 0$ and $n = b^3 + \frac{63}{b},$ forcing $b \mid 63$ and $b \gt 0.$ The smallest value is $48,$ at $b = 3.$

Otherwise the polynomial splits into two quadratics, which we may take monic; since the $x^3$ coefficient vanishes, they have the form $\begin{aligned} &(x^2 + px + q)(x^2 - px + r) \\ &= x^4 + (q + r - p^2)x^2 \\ &\quad {}+ p(r - q)x + qr. \end{aligned}$ Matching coefficients gives $q + r = p^2,$ $qr = 63,$ and $n = p(q - r).$ The factor pairs of $63$ with square sum are $\{7, 9\}$ (sum $16,$ so $p = 4$ ) and $\{1, 63\}$ (sum $64,$ so $p = 8$ ), giving $n = 4 \cdot 2 = 8$ or $n = 8 \cdot 62 = 496.$

The smallest positive value overall is $n = 8;$ indeed $(x^2 + 4x + 9)(x^2 - 4x + 7)$ $= x^4 - 8x + 63.$

2010 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años