Question

Un trapecio isósceles tiene una circunferencia inscrita tangente a cada uno de sus cuatro lados. El radio de la circunferencia es $3,$ y el área del trapecio es $72.$ Sean $r$ y $s$ las longitudes de los lados paralelos del trapecio, con $r \ne s.$ Halle $r^2 + s^2.$

An isosceles trapezoid has an inscribed circle tangent to each of its four sides. The radius of the circle is $3,$ and the area of the trapezoid is $72.$ Let the parallel sides of the trapezoid have lengths $r$ and $s,$ with $r \ne s.$ Find $r^2 + s^2.$

Respuesta

Solución:

La circunferencia es tangente a ambos lados paralelos, así que la altura del trapecio es $2 \cdot 3 = 6.$ A partir del área, $\frac{r + s}{2} \cdot 6 = 72,$ así que $r + s = 24.$ Por el teorema de Pitot los lados no paralelos también suman $24,$ y como el trapecio es isósceles cada uno mide $12.$

Al trazar una perpendicular desde un extremo de la base más corta, el lado no paralelo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $6$ y $\frac{|r - s|}{2}:$ $144 = 36 + \left(\frac{r - s}{2}\right)^2,$ así que $(r - s)^2 = 432.$ Por lo tanto $r^2 + s^2 = \frac{(r+s)^2 + (r-s)^2}{2}$ $= \frac{576 + 432}{2} = 504.$

The circle is tangent to both parallel sides, so the height of the trapezoid is $2 \cdot 3 = 6.$ From the area, $\frac{r + s}{2} \cdot 6 = 72,$ so $r + s = 24.$ By the Pitot theorem the legs together also sum to $24,$ and since the trapezoid is isosceles each leg is $12.$

Dropping a perpendicular from an endpoint of the shorter base, the leg is the hypotenuse of a right triangle with legs $6$ and $\frac{|r - s|}{2}:$ $144 = 36 + \left(\frac{r - s}{2}\right)^2,$ so $(r - s)^2 = 432.$ Therefore $r^2 + s^2 = \frac{(r+s)^2 + (r-s)^2}{2}$ $= \frac{576 + 432}{2} = 504.$

2025 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años