Question

Las doce letras $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ y $L$ se agrupan al azar en seis pares de letras. Las dos letras de cada par se colocan una junto a la otra en orden alfabético para formar seis palabras de dos letras, y luego esas seis palabras se ordenan alfabéticamente. Por ejemplo, un resultado posible es $AB,$ $CJ,$ $DG,$ $EK,$ $FL,$ $HI.$ La probabilidad de que la última palabra de la lista contenga $G$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

The twelve letters $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ and $L$ are randomly grouped into six pairs of letters. The two letters in each pair are placed next to each other in alphabetical order to form six two-letter words, and then those six words are listed alphabetically. For example, a possible result is $AB,$ $CJ,$ $DG,$ $EK,$ $FL,$ $HI.$ The probability that the last word listed contains $G$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Hay $11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 10395$ formas de emparejar las letras. Cada palabra empieza con la letra menor de su par, así que la última palabra en orden alfabético es el par cuya letra menor es la mayor.

Caso 1: $G$ es la letra menor de la última palabra. Entonces $G$ se empareja con una de $H, I, J, K, L$ ( $5$ formas), y ningún par puede formarse entre dos de las cuatro letras tardías restantes (tal par empezaría con una letra posterior a $G$ ). Esas cuatro letras deben tomar compañeras distintas de $\{A, \ldots, F\},$ de $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ formas, y las dos letras tempranas sobrantes se emparejan entre sí. Eso da $5 \cdot 360 = 1800$ emparejamientos. Caso 2: $G$ es la letra mayor, emparejada con alguna $x$ anterior a $G.$ Entonces ninguna de $H, \ldots, L$ puede emparejarse entre sí, así que las cinco toman compañeras entre las otras cinco letras tempranas; las seis letras menores son entonces exactamente $A$ a $F,$ y la mayor es $F.$ Así la última palabra es $FG,$ y $H, \ldots, L$ se emparejan con $A, \ldots, E$ de $5! = 120$ formas.

La probabilidad es $\frac{1800 + 120}{10395} = \frac{1920}{10395} = \frac{128}{693},$ así que $m + n = 128 + 693 = 821.$

There are $11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 10395$ ways to pair the letters. Each word begins with the smaller letter of its pair, so the last word alphabetically is the pair whose smaller letter is largest.

Case 1: $G$ is the smaller letter of the last word. Then $G$ pairs with one of $H, I, J, K, L$ ( $5$ ways), and no two of the remaining four late letters may pair together (such a pair would start with a letter after $G$ ). Those four letters must take distinct partners from $\{A, \ldots, F\},$ in $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ ways, and the two leftover early letters pair with each other. That gives $5 \cdot 360 = 1800$ pairings. Case 2: $G$ is the larger letter, paired with some $x$ before $G.$ Then none of $H, \ldots, L$ may pair together, so all five take partners among the other five early letters; the six smaller letters are then exactly $A$ through $F,$ and the largest is $F.$ So the last word is $FG,$ and $H, \ldots, L$ match with $A, \ldots, E$ in $5! = 120$ ways.

The probability is $\frac{1800 + 120}{10395} = \frac{1920}{10395} = \frac{128}{693},$ so $m + n = 128 + 693 = 821.$

2025 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años