Question

El punto $B$ está en $\overline{AC}$ con $AB = 9$ y $BC = 21.$ El punto $D$ no está en $\overline{AC}$ de modo que $AD = CD,$ y $AD$ y $BD$ son enteros. Sea $s$ la suma de todos los perímetros posibles del $\triangle ACD.$ Halla $s.$

Point $B$ is on $\overline{AC}$ with $AB = 9$ and $BC = 21.$ Point $D$ is not on $\overline{AC}$ so that $AD = CD,$ and $AD$ and $BD$ are integers. Let $s$ be the sum of all possible perimeters of $\triangle ACD.$ Find $s.$

Respuesta

Solución:

Sean $AD = CD = a$ y $BD = b,$ y sea $E$ el pie de la perpendicular desde $D$ hacia $\overline{AC}.$ Como $AD = CD,$ el punto $E$ es el punto medio de $\overline{AC},$ así que $AE = 15$ y $BE = 15 - 9 = 6.$ Los triángulos rectángulos $DEA$ y $DEB$ comparten el cateto $DE,$ así que $a^2 - 15^2 = DE^2 = b^2 - 6^2,$ es decir $(a+b)(a-b) = 189.$

Las factorizaciones $189 = 189 \cdot 1$ $= 63 \cdot 3$ $= 27 \cdot 7 = 21 \cdot 9$ dan $(a, b) = (95, 94),$ $(33, 30),$ $(17, 10),$ y $(15, 6).$ La última se descarta: $b = 6$ pondría a $D$ sobre $\overline{AC}.$ Cada par válido da un triángulo con perímetro $2a + 30.$

Por lo tanto $s = (190 + 30)$ $+ (66 + 30)$ $+ (34 + 30)$ $= 220 + 96 + 64$ $= 380.$

Let $AD = CD = a$ and $BD = b,$ and let $E$ be the foot of the perpendicular from $D$ to $\overline{AC}.$ Since $AD = CD,$ point $E$ is the midpoint of $\overline{AC},$ so $AE = 15$ and $BE = 15 - 9 = 6.$ The right triangles $DEA$ and $DEB$ share leg $DE,$ so $a^2 - 15^2 = DE^2 = b^2 - 6^2,$ that is $(a+b)(a-b) = 189.$

The factorizations $189 = 189 \cdot 1$ $= 63 \cdot 3$ $= 27 \cdot 7 = 21 \cdot 9$ give $(a, b) = (95, 94),$ $(33, 30),$ $(17, 10),$ and $(15, 6).$ The last is rejected: $b = 6$ would put $D$ on $\overline{AC}.$ Each valid pair gives a triangle with perimeter $2a + 30.$

Therefore $s = (190 + 30)$ $+ (66 + 30)$ $+ (34 + 30)$ $= 220 + 96 + 64$ $= 380.$

2003 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años