Question

Una circunferencia de radio $6$ es tangente externamente a una circunferencia de radio $24.$ Halla el área de la región triangular limitada por las tres tangentes comunes de estas dos circunferencias.

A circle with radius $6$ is externally tangent to a circle with radius $24.$ Find the area of the triangular region bounded by the three common tangent lines of these two circles.

Respuesta

Respuesta: 192

Conceptos:circunferencias tangentes recta tangente semejanza

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Las dos tangentes externas se encuentran en un punto $P$ sobre la recta que pasa por los centros, cuyas distancias a los centros están en razón $24 : 6$

The two external tangents meet at a point $P$ on the line through the centers, whose distances to the centers are in ratio $24 : 6$

Pista grande:

El tercer lado es la tangente común en el punto de tangencia, perpendicular a la recta de los centros. Usa $\sin\theta = \frac{24}{40}$ para el semiángulo en $P.$

The third side is the common tangent at the point of tangency, perpendicular to the center line. Use $\sin\theta = \frac{24}{40}$ for the half-angle at $P.$

Solución:

Los centros $O_1$ (radio $24$ ) y $O_2$ (radio $6$ ) están a distancia $30$ . Las dos tangentes externas se encuentran en un punto $P$ sobre la recta $O_1O_2$ más allá de la circunferencia pequeña, con $\frac{PO_1}{PO_2} = \frac{24}{6} = 4.$ Combinado con $PO_1 - PO_2 = 30,$ esto da $PO_1 = 40$ y $PO_2 = 10.$ Cada tangente externa forma un ángulo $\theta$ con la recta de los centros, donde $\sin\theta = \frac{24}{40} = \frac{3}{5},$ así que $\tan\theta = \frac{3}{4}.$

La tercera tangente común es la tangente en el punto de tangencia $T,$ que es perpendicular a $O_1O_2$ a distancia $24$ de $O_1.$ El triángulo limitado por las tres tangentes tiene ápice $P$ y base sobre esta recta, con altura $PT = 40 - 24 = 16$ y semibase $16\tan\theta = 12.$

Su área es $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192.$

The centers $O_1$ (radius $24$ ) and $O_2$ (radius $6$ ) are $30$ apart. The two external tangents meet at a point $P$ on line $O_1O_2$ beyond the small circle, with $\frac{PO_1}{PO_2} = \frac{24}{6} = 4.$ Combined with $PO_1 - PO_2 = 30,$ this gives $PO_1 = 40$ and $PO_2 = 10.$ Each external tangent makes angle $\theta$ with the center line, where $\sin\theta = \frac{24}{40} = \frac{3}{5},$ so $\tan\theta = \frac{3}{4}.$

The third common tangent is the tangent at the point of tangency $T,$ which is perpendicular to $O_1O_2$ at distance $24$ from $O_1.$ The triangle bounded by the three tangents has apex $P$ and base on this line, with height $PT = 40 - 24 = 16$ and half-base $16\tan\theta = 12.$

Its area is $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192.$

2022 AIME II Problema 7

Respuesta: 192

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años