Question

Sea $\triangle PQR$ un triángulo rectángulo con $PQ = 90,$ $PR = 120,$ y $QR = 150.$ Sea $C_1$ la circunferencia inscrita. Construye $\overline{ST},$ con $S$ sobre $\overline{PR}$ y $T$ sobre $\overline{QR},$ de modo que $\overline{ST}$ sea perpendicular a $\overline{PR}$ y tangente a $C_1.$ Construye $\overline{UV}$ con $U$ sobre $\overline{PQ}$ y $V$ sobre $\overline{QR}$ de modo que $\overline{UV}$ sea perpendicular a $\overline{PQ}$ y tangente a $C_1.$ Sea $C_2$ la circunferencia inscrita de $\triangle RST$ y $C_3$ la circunferencia inscrita de $\triangle QUV.$ La distancia entre los centros de $C_2$ y $C_3$ se puede escribir como $\sqrt{10n}.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

Let $\triangle PQR$ be a right triangle with $PQ = 90,$ $PR = 120,$ and $QR = 150.$ Let $C_1$ be the inscribed circle. Construct $\overline{ST},$ with $S$ on $\overline{PR}$ and $T$ on $\overline{QR},$ such that $\overline{ST}$ is perpendicular to $\overline{PR}$ and tangent to $C_1.$ Construct $\overline{UV}$ with $U$ on $\overline{PQ}$ and $V$ on $\overline{QR}$ such that $\overline{UV}$ is perpendicular to $\overline{PQ}$ and tangent to $C_1.$ Let $C_2$ be the inscribed circle of $\triangle RST$ and $C_3$ the inscribed circle of $\triangle QUV.$ The distance between the centers of $C_2$ and $C_3$ can be written as $\sqrt{10n}.$ What is $n?$

Respuesta

Solución:

El ángulo recto está en $P,$ así que coloca $P = (0, 0),$ $Q = (0, 90),$ $R = (120, 0).$ El inradio de un triángulo rectángulo es la mitad de la suma de los catetos menos la hipotenusa: $r_1 = \frac{90 + 120 - 150}{2} = 30,$ de modo que $C_1$ tiene centro $(30, 30).$ La recta tangente a $C_1$ perpendicular a $\overline{PR}$ (del lado hacia $R$ ) es $x = 60,$ y la tangente perpendicular a $\overline{PQ}$ (hacia $Q$ ) es $y = 60.$

El triángulo $RST$ es semejante al triángulo $RPQ$ con razón $\frac{RS}{RP} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2},$ así que su inradio es $15$ y su circunferencia inscrita $C_2$ tiene centro en $(60 + 15, 15) = (75, 15).$ El triángulo $QUV$ es semejante al triángulo $QPR$ con razón $\frac{QU}{QP} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3},$ así que su inradio es $10$ y $C_3$ tiene centro en $(10, 60 + 10) = (10, 70).$

La distancia al cuadrado es $65^2 + 55^2$ $= 4225 + 3025$ $= 7250$ $= 10 \cdot 725,$ así que $n = 725.$

The right angle is at $P,$ so place $P = (0, 0),$ $Q = (0, 90),$ $R = (120, 0).$ The inradius of a right triangle is half the sum of the legs minus the hypotenuse: $r_1 = \frac{90 + 120 - 150}{2} = 30,$ so $C_1$ has center $(30, 30).$ The tangent line to $C_1$ perpendicular to $\overline{PR}$ (on the side toward $R$ ) is $x = 60,$ and the tangent perpendicular to $\overline{PQ}$ (toward $Q$ ) is $y = 60.$

Triangle $RST$ is similar to triangle $RPQ$ with ratio $\frac{RS}{RP} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2},$ so its inradius is $15$ and its incircle $C_2$ is centered at $(60 + 15, 15) = (75, 15).$ Triangle $QUV$ is similar to triangle $QPR$ with ratio $\frac{QU}{QP} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3},$ so its inradius is $10$ and $C_3$ is centered at $(10, 60 + 10) = (10, 70).$

The squared distance is $65^2 + 55^2$ $= 4225 + 3025$ $= 7250$ $= 10 \cdot 725,$ so $n = 725.$

2001 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años