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2001 AIME II Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2001 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

Sea △PQR\triangle PQR un triángulo rectángulo con PQ=90,PQ = 90, PR=120,PR = 120, y QR=150.QR = 150. Sea C1C_1 la circunferencia inscrita. Construye ST‾,\overline{ST}, con SS sobre PR‾\overline{PR} y TT sobre QR‾,\overline{QR}, de modo que ST‾\overline{ST} sea perpendicular a PR‾\overline{PR} y tangente a C1.C_1. Construye UV‾\overline{UV} con UU sobre PQ‾\overline{PQ} y VV sobre QR‾\overline{QR} de modo que UV‾\overline{UV} sea perpendicular a PQ‾\overline{PQ} y tangente a C1.C_1. Sea C2C_2 la circunferencia inscrita de △RST\triangle RST y C3C_3 la circunferencia inscrita de △QUV.\triangle QUV. La distancia entre los centros de C2C_2 y C3C_3 se puede escribir como 10n.\sqrt{10n}. ¿Cuánto vale nn?
Let △PQR\triangle PQR be a right triangle with PQ=90,PQ = 90, PR=120,PR = 120, and QR=150.QR = 150. Let C1C_1 be the inscribed circle. Construct ST‾,\overline{ST}, with SS on PR‾\overline{PR} and TT on QR‾,\overline{QR}, such that ST‾\overline{ST} is perpendicular to PR‾\overline{PR} and tangent to C1.C_1. Construct UV‾\overline{UV} with UU on PQ‾\overline{PQ} and VV on QR‾\overline{QR} such that UV‾\overline{UV} is perpendicular to PQ‾\overline{PQ} and tangent to C1.C_1. Let C2C_2 be the inscribed circle of △RST\triangle RST and C3C_3 the inscribed circle of △QUV.\triangle QUV. The distance between the centers of C2C_2 and C3C_3 can be written as 10n.\sqrt{10n}. What is n?n?
Respuesta: 725
Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradiotriángulo rectángulosemejanzafórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Coloca PP en el origen. La circunferencia inscrita grande tiene radio 90+120−1502=30,\frac{90 + 120 - 150}{2} = 30, así que ST‾\overline{ST} y UV‾\overline{UV} son las rectas x=60x = 60 y y=60.y = 60.
Put PP at the origin. The big incircle has radius 90+120−1502=30,\frac{90 + 120 - 150}{2} = 30, so ST‾\overline{ST} and UV‾\overline{UV} are the lines x=60x = 60 and y=60.y = 60.
Pista grande:
Los triángulos RSTRST y QUVQUV son semejantes al original con razones 12\frac{1}{2} y 13;\frac{1}{3}; localiza en coordenadas el centro de cada circunferencia inscrita pequeña.
Triangles RSTRST and QUVQUV are similar to the original with ratios 12\frac{1}{2} and 13;\frac{1}{3}; locate each small incircle’s center in coordinates
Solución:
El ángulo recto está en P,P, así que coloca P=(0,0),P = (0, 0), Q=(0,90),Q = (0, 90), R=(120,0).R = (120, 0). El inradio de un triángulo rectángulo es la mitad de la diferencia entre la suma de los catetos y la hipotenusa: r1=90+120−1502=30,r_1 = \frac{90 + 120 - 150}{2} = 30, de modo que C1C_1 tiene centro (30,30).(30, 30). La recta tangente a C1C_1 perpendicular a PR‾\overline{PR} (del lado hacia RR) es x=60,x = 60, y la tangente perpendicular a PQ‾\overline{PQ} (hacia QQ) es y=60.y = 60.
El triángulo RSTRST es semejante al triángulo RPQRPQ con razón RSRP=60120=12,\frac{RS}{RP} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}, así que su inradio es 1515 y su circunferencia inscrita C2C_2 tiene centro en (60+15,15)=(75,15).(60 + 15, 15) = (75, 15). El triángulo QUVQUV es semejante al triángulo QPRQPR con razón QUQP=3090=13,\frac{QU}{QP} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}, así que su inradio es 1010 y C3C_3 tiene centro en (10,60+10)=(10,70).(10, 60 + 10) = (10, 70).
La distancia al cuadrado es 652+55265^2 + 55^2 =4225+3025= 4225 + 3025 =7250= 7250 =10⋅725,= 10 \cdot 725, así que n=725.n = 725.
The right angle is at P,P, so place P=(0,0),P = (0, 0), Q=(0,90),Q = (0, 90), R=(120,0).R = (120, 0). The inradius of a right triangle is half the difference between the sum of the legs and the hypotenuse: r1=90+120−1502=30,r_1 = \frac{90 + 120 - 150}{2} = 30, so C1C_1 has center (30,30).(30, 30). The tangent line to C1C_1 perpendicular to PR‾\overline{PR} (on the side toward RR) is x=60,x = 60, and the tangent perpendicular to PQ‾\overline{PQ} (toward QQ) is y=60.y = 60.
Triangle RSTRST is similar to triangle RPQRPQ with ratio RSRP=60120=12,\frac{RS}{RP} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}, so its inradius is 1515 and its incircle C2C_2 is centered at (60+15,15)=(75,15).(60 + 15, 15) = (75, 15). Triangle QUVQUV is similar to triangle QPRQPR with ratio QUQP=3090=13,\frac{QU}{QP} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}, so its inradius is 1010 and C3C_3 is centered at (10,60+10)=(10,70).(10, 60 + 10) = (10, 70).
The squared distance is 652+55265^2 + 55^2 =4225+3025= 4225 + 3025 =7250= 7250 =10⋅725,= 10 \cdot 725, so n=725.n = 725.
Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

El Problema 7 en otros años

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