Question

Supón que $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos tales que $a^5=b^4,$ $c^3=d^2,$ y $c-a=19.$ Determina $d-b.$

Assume that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers such that $a^5=b^4,$ $c^3=d^2,$ and $c-a=19.$ Determine $d-b.$

Respuesta

Respuesta: 757

Conceptos:potencia perfecta diferencia de cuadrados Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Parametriza las soluciones de $a^5=b^4$ y $c^3=d^2$

Parametrize the solutions of $a^5=b^4$ and $c^3=d^2$

Pista grande:

Factoriza la diferencia resultante $s^2-t^4$

Factor the resulting difference $s^2-t^4$

Solución:

Al comparar exponentes primos, escribimos $\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}$ para enteros positivos $s,$ $t.$ Entonces $(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19.$ Como $19$ es primo, los factores son $1$ y $19,$ lo que da $s=10$ y $t^2=9.$ Por tanto, $t=3,$ y $\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757. \end{aligned}$

Comparing prime exponents, write $\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}$ for positive integers $s,$ $t.$ Then $(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19.$ Since $19$ is prime, the factors are $1$ and $19,$ giving $s=10$ and $t^2=9.$ Thus $t=3,$ and $\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757. \end{aligned}$

1985 AIME Problema 7

Respuesta: 757

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años