Soluciones del 1985 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Sea $x_1=97,$ y para $n\gt1$ sea $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.$ Calcula el producto $x_1x_2\cdots x_8.$

Let $x_1=97,$ and for $n\gt1$ let $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.$ Calculate the product $x_1x_2\cdots x_8.$

Respuesta

Conceptos:recursión manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Multiplica términos consecutivos mediante la recurrencia

Multiply consecutive terms using the recurrence

Pista grande:

Agrupa el producto pedido como $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

Group the requested product as $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

Solución:

La recurrencia da $x_{n-1}x_n=n.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}$

The recurrence gives $x_{n-1}x_n=n.$ Therefore $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}$

2.

Al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto, el volumen del cono generado es $800\pi\text{ cm}^3.$ Al girarlo alrededor del otro cateto, el volumen del cono generado es $1920\pi\text{ cm}^3.$ ¿Cuál es la longitud, en centímetros, de la hipotenusa del triángulo?

When a right triangle is rotated about one leg, the volume of the cone produced is $800\pi\text{ cm}^3.$ When the triangle is rotated about the other leg, the volume of the cone produced is $1920\pi\text{ cm}^3.$ What is the length (in cm) of the hypotenuse of the triangle?

Respuesta

Conceptos:cono volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Expresa los dos volúmenes de los conos en función de los catetos $a$ y $b$ del triángulo

Write the two cone volumes in terms of the triangle’s legs $a$ and $b$

Pista grande:

Al dividir las ecuaciones de volumen se obtiene la razón entre los dos catetos

Dividing the volume equations gives the ratio of the two legs

Solución:

Sean los catetos $a$ y $b.$ En un orden adecuado, $\begin{aligned} \frac13\pi b^2a&=800\pi,\\ \frac13\pi a^2b&=1920\pi. \end{aligned}$ Su cociente da $\frac{a}{b}=\frac{12}{5},$ así que escribimos $a=12k$ y $b=5k.$ La primera ecuación se convierte en $100k^3=800,$ de donde $k=2.$ Los catetos son $24$ y $10,$ por lo que la hipotenusa es $\sqrt{24^2+10^2}=26.$

Let the legs be $a$ and $b.$ In a suitable order, $\begin{aligned} \frac13\pi b^2a&=800\pi,\\ \frac13\pi a^2b&=1920\pi. \end{aligned}$ Their ratio gives $\frac{a}{b}=\frac{12}{5},$ so write $a=12k$ and $b=5k.$ The first equation becomes $100k^3=800,$ hence $k=2.$ The legs are $24$ and $10,$ so the hypotenuse is $\sqrt{24^2+10^2}=26.$

3.

Halla $c$ si $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos que satisfacen $c=(a+bi)^3-107i,$ donde $i^2=-1.$

Find $c$ if $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers which satisfy $c=(a+bi)^3-107i,$ where $i^2=-1.$

Respuesta

Conceptos:número complejo Ecuación diofántica factorización

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Desarrolla $(a+bi)^3$ e iguala su parte imaginaria a $107$

Expand $(a+bi)^3$ and set its imaginary part equal to $107$

Pista grande:

La ecuación resultante muestra que el entero positivo $b$ divide a $107$

The resulting equation shows that the positive integer $b$ divides $107$

Solución:

Al desarrollar y usar que $c$ es real se obtiene $b(3a^2-b^2)=107.$ Como $107$ es primo, $b=1$ o $107.$ La segunda posibilidad exigiría $3a^2=11450,$ lo cual es imposible. Por tanto, $b=1,$ y $3a^2-1=107,$ de donde $a=6.$ La parte real es $c=a^3-3ab^2=216-18=198.$

Expanding and using that $c$ is real gives $b(3a^2-b^2)=107.$ Since $107$ is prime, $b=1$ or $107.$ The latter would require $3a^2=11450,$ which is impossible. Thus $b=1,$ and $3a^2-1=107,$ so $a=6.$ The real part is $c=a^3-3ab^2=216-18=198.$

4.

Se construye un cuadrado pequeño dentro de un cuadrado de área $1$ dividiendo cada lado del cuadrado unitario en $n$ partes iguales y uniendo después cada vértice con el punto de división más cercano al vértice opuesto, como se muestra. Halla el valor de $n$ si el área del cuadrado pequeño (sombreado en la figura) es exactamente $\frac1{1985}.$

A small square is constructed inside a square of area $1$ by dividing each side of the unit square into $n$ equal parts, and then connecting the vertices to the division points closest to the opposite vertices, as shown. Find the value of $n$ if the area of the small square (shaded in the figure) is exactly $\frac1{1985}.$

Respuesta

Conceptos:cuadrado (geometría)fórmula de la distancia cuadrática

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Coloca el cuadrado unitario en un plano de coordenadas y escribe las ecuaciones de dos rectas paralelas de la construcción

Place the unit square on a coordinate plane and write equations for two parallel construction lines

Pista grande:

La distancia entre las rectas paralelas es la longitud del lado del cuadrado pequeño

The distance between the parallel lines is the side length of the small square

Solución:

Sitúa los vértices del cuadrado exterior en $(0,0),$ $(1,0),$ $(1,1),$ $(0,1).$ Un par de rectas de la construcción tiene ecuaciones $\begin{aligned} nx-(n-1)y&=0,\\ nx-(n-1)y&=1. \end{aligned}$ El otro par es perpendicular al primero, y ambos pares tienen la misma separación. Así, el cuadrado interior tiene lado $\frac1{\sqrt{n^2+(n-1)^2}}$ y área $\frac{1}{n^2+(n-1)^2}.$ Por tanto, $n^2+(n-1)^2=1985,$ o bien $n^2-n-992=0.$ Su raíz positiva es $n=\frac{1+63}{2}=32.$

Put the outer square at $(0,0),$ $(1,0),$ $(1,1),$ $(0,1).$ One pair of construction lines has equations $\begin{aligned} nx-(n-1)y&=0,\\ nx-(n-1)y&=1. \end{aligned}$ The other pair is perpendicular to this pair, and the two pairs have the same separation. Thus the inner square has side length $\frac1{\sqrt{n^2+(n-1)^2}}$ and area $\frac{1}{n^2+(n-1)^2}.$ Hence $n^2+(n-1)^2=1985,$ or $n^2-n-992=0.$ Its positive root is $n=\frac{1+63}{2}=32.$

5.

Se elige una sucesión de enteros $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ tal que $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ para cada $n\geq3.$ ¿Cuál es la suma de los primeros $2001$ términos si la suma de los primeros $1492$ términos es $1985,$ y la suma de los primeros $1985$ términos es $1492$ ?

A sequence of integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is chosen so that $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ for each $n\geq3.$ What is the sum of the first $2001$ terms of this sequence if the sum of the first $1492$ terms is $1985,$ and the sum of the first $1985$ terms is $1492?$

Respuesta

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Escribe los primeros seis términos en función de $a_1$ y $a_2$

Write the first six terms in terms of $a_1$ and $a_2$

Pista grande:

La sucesión se repite cada seis términos, y cada bloque de seis suma $0$

The sequence repeats every six terms, and each six-term block has sum $0$

Solución:

Sean $a_1=x$ y $a_2=y.$ Los primeros seis términos son $x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,$ tras lo cual la sucesión se repite; estos seis términos suman $0.$ Como $1492\equiv4\pmod6$ y $1985\equiv5\pmod6,$ las ecuaciones dadas son $\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492. \end{aligned}$ Por tanto, $y=493.$ Como $2001\equiv3\pmod6,$ la suma pedida es $x+y+(y-x)=2y=986.$

Put $a_1=x$ and $a_2=y.$ The first six terms are $x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,$ after which the sequence repeats; these six terms sum to $0.$ Since $1492\equiv4\pmod6$ and $1985\equiv5\pmod6,$ the given equations are $\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492. \end{aligned}$ Thus $y=493.$ Since $2001\equiv3\pmod6,$ the requested sum is $x+y+(y-x)=2y=986.$

6.

Como muestra la figura, el triángulo $ABC$ está dividido en seis triángulos más pequeños por rectas trazadas desde los vértices y que pasan por un mismo punto interior. Se indican las áreas de cuatro de ellos. Halla el área del triángulo $ABC.$

As shown in the figure, triangle $ABC$ is divided into six smaller triangles by lines drawn from the vertices through a common interior point. The areas of four of these triangles are as indicated. Find the area of triangle $ABC.$

Respuesta

Conceptos:área del triángulo razón de áreas Teorema de Ceva

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Llama $x$ al área no rotulada de la parte superior derecha y $y$ a la de la parte superior izquierda

Call the upper-right unlabeled area $x$ and the upper-left unlabeled area $y$

Pista grande:

Usa razones de áreas de triángulos con la misma altura, junto con el teorema de Ceva

Use equal-altitude area ratios along the sides, together with Ceva’s theorem

Solución:

Sean $x$ y $y,$ respectivamente, las áreas no rotuladas de la parte superior derecha e izquierda. Las tres razones en que se dividen los lados y el teorema de Ceva dan $\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1,$ por lo que $xy=3920.$

La ceviana desde $A$ corta a $BC.$ La razón de los dos segmentos de $BC$ es $\frac{35}{x}.$ Al calcular la misma razón mediante los dos triángulos grandes con vértice $A,$ se obtiene $\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84},$ de modo que $y+84=2x.$ Al resolver junto con $xy=3920,$ se obtiene $x=70$ y $y=56.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315. \end{aligned}$

Let the unlabeled upper-right and upper-left areas be $x$ and $y,$ respectively. The three side-division ratios and Ceva’s theorem give $\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1,$ so $xy=3920.$

The cevian from $A$ meets $BC.$ The ratio of the two segments of $BC$ is $\frac{35}{x}.$ Computing the same ratio from the two large triangles with vertex $A$ gives $\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84},$ so $y+84=2x.$ Solving with $xy=3920$ yields $x=70$ and $y=56.$ Therefore $\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315. \end{aligned}$

7.

Supón que $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos tales que $a^5=b^4,$ $c^3=d^2,$ y $c-a=19.$ Determina $d-b.$

Assume that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers such that $a^5=b^4,$ $c^3=d^2,$ and $c-a=19.$ Determine $d-b.$

Respuesta

Conceptos:potencia perfecta diferencia de cuadrados Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Parametriza las soluciones de $a^5=b^4$ y $c^3=d^2$

Parametrize the solutions of $a^5=b^4$ and $c^3=d^2$

Pista grande:

Factoriza la diferencia resultante $s^2-t^4$

Factor the resulting difference $s^2-t^4$

Solución:

Al comparar exponentes primos, escribimos $\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}$ para enteros positivos $s,$ $t.$ Entonces $(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19.$ Como $19$ es primo, los factores son $1$ y $19,$ lo que da $s=10$ y $t^2=9.$ Por tanto, $t=3,$ y $\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757. \end{aligned}$

Comparing prime exponents, write $\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}$ for positive integers $s,$ $t.$ Then $(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19.$ Since $19$ is prime, the factors are $1$ and $19,$ giving $s=10$ and $t^2=9.$ Thus $t=3,$ and $\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757. \end{aligned}$

8.

La suma de los siguientes siete números es exactamente $19:$ $\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86. \end{aligned}$ Se desea sustituir cada $a_i$ por una aproximación entera $A_i,$ con $1\leq i\leq7,$ de modo que la suma de los $A_i$ también sea $19$ y que $M,$ el máximo de los «errores» $|A_i-a_i|,$ sea lo menor posible. Para este valor mínimo de $M,$ ¿cuánto vale $100M$ ?

The sum of the following seven numbers is exactly $19:$ $\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86. \end{aligned}$ It is desired to replace each $a_i$ by an integer approximation $A_i,$ $1\leq i\leq7,$ so that the sum of the $A_i$ ’s is also $19$ and so that $M,$ the maximum of the “errors” $|A_i-a_i|,$ is as small as possible. For this minimum $M,$ what is $100M?$

Respuesta

Conceptos:estimación optimización argumento extremal

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Partiendo de siete $3,$ la suma entera debe reducirse en $2$

Starting from seven $3$ ’s, the integer sum must be reduced by $2$

Pista grande:

Para minimizar el mayor error, redondea los dos $a_i$ más pequeños hacia abajo a $2$

To minimize the worst error, round the two smallest $a_i$ ’s down to $2$

Solución:

Elige $A_1=A_2=2$ y $A_3=\cdots=A_7=3.$ La suma es $19,$ y el mayor error es $|A_2-a_2|=0.61.$

Si $M\lt0.61,$ entonces $A_2,\ldots,A_7$ deben ser todos iguales a $3,$ y $A_1$ solo puede ser $2$ o $3.$ Por tanto, su suma sería al menos $20,$ una contradicción. Así, el mínimo es $M=0.61,$ y $100M=61.$

Choose $A_1=A_2=2$ and $A_3=\cdots=A_7=3.$ The sum is $19,$ and the largest error is $|A_2-a_2|=0.61.$

If $M\lt0.61,$ then $A_2,\ldots,A_7$ must all equal $3,$ and $A_1$ can only be $2$ or $3.$ Their sum would therefore be at least $20,$ a contradiction. Thus the minimum is $M=0.61,$ and $100M=61.$

9.

En un círculo, unas cuerdas paralelas de longitudes $2,$ $3,$ y $4$ determinan ángulos centrales de $\alpha,$ $\beta,$ y $\alpha+\beta$ radianes, respectivamente, donde $\alpha+\beta\lt\pi.$ Si el número racional positivo $\cos\alpha$ se expresa como una fracción irreducible, ¿cuál es la suma de su numerador y su denominador?

In a circle, parallel chords of lengths $2,$ $3,$ and $4$ determine central angles of $\alpha,$ $\beta,$ and $\alpha+\beta$ radians, respectively, where $\alpha+\beta\lt\pi.$ If $\cos\alpha,$ which is a positive rational number, is expressed as a fraction in lowest terms, what is the sum of its numerator and denominator?

Respuesta

Conceptos:cuerda identidad trigonométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Una cuerda que subtiende un ángulo $\theta$ tiene longitud $2R\sin(\frac{\theta}{2})$

A chord subtending angle $\theta$ has length $2R\sin(\frac{\theta}{2})$

Pista grande:

Sean $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ y $y=\cos(\frac{\beta}{2}),$ y después elimina el radio común

Let $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ and $y=\cos(\frac{\beta}{2}),$ then eliminate the common radius

Solución:

Sean $k=\frac{1}{2R},$ $x=\cos(\frac{\alpha}{2}),$ y $y=\cos(\frac{\beta}{2}).$ Los datos de las cuerdas dan $\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=2k,\\ \sin\frac\beta2&=3k,\\ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}&=4k. \end{aligned}$ La fórmula de adición produce $2y+3x=4.$ Además, $\frac{1-x^2}{4}=\frac{1-y^2}{9},$ así que $9x^2-4y^2=5.$ Al sustituir $y=\frac{4-3x}{2},$ se obtiene $x=\frac{7}{8}.$ Por tanto, $\cos\alpha=2x^2-1=\frac{17}{32},$ y la suma pedida es $17+32=49.$

Put $k=\frac{1}{2R},$ $x=\cos(\frac{\alpha}{2}),$ and $y=\cos(\frac{\beta}{2}).$ The chord data give $\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=2k,\\ \sin\frac\beta2&=3k,\\ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}&=4k. \end{aligned}$ The addition formula yields $2y+3x=4.$ Also $\frac{1-x^2}{4}=\frac{1-y^2}{9},$ so $9x^2-4y^2=5.$ Substituting $y=\frac{4-3x}{2}$ gives $x=\frac{7}{8}.$ Hence $\cos\alpha=2x^2-1=\frac{17}{32},$ and the requested sum is $17+32=49.$

10.

¿Cuántos de los primeros $1000$ enteros positivos pueden expresarse en la forma $\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor,$ donde $x$ es un número real y $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z$ ?

How many of the first $1000$ positive integers can be expressed in the form $\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor,$ where $x$ is a real number, and $\lfloor z\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $z?$

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Sustituye $y=2x$ y separa $y$ en sus partes entera y fraccionaria

Substitute $y=2x$ and separate $y$ into its integer and fractional parts

Pista grande:

Determina los valores de $\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor$ para $0\leq r\lt1$

Determine the values of $\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor$ for $0\leq r\lt1$

Solución:

Sea $y=2x=m+r,$ donde $m$ es un entero y $0\leq r\lt1.$ La expresión es $10m+\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor.$ Al revisar los puntos de ruptura $r=\frac{1}{4},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{2},$ $\frac{2}{3},$ $\frac{3}{4},$ se observa que la contribución de la parte fraccionaria toma exactamente los valores $0,$ $1,$ $2,$ $4,$ $5$ y $6.$ Así, se pueden obtener exactamente seis clases de residuos módulo $10.$ Entre los primeros $1000$ enteros positivos, esto da $100\cdot6=600.$

Let $y=2x=m+r,$ where $m$ is an integer and $0\leq r\lt1.$ The expression is $10m+\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor.$ Checking the breakpoints $r=\frac{1}{4},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{2},$ $\frac{2}{3},$ $\frac{3}{4}$ shows that the fractional-part contribution takes exactly the values $0,$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ and $6.$ Thus precisely six residue classes modulo $10$ are attainable. Among the first $1000$ positive integers, this gives $100\cdot6=600.$

11.

Una elipse tiene focos en $(9,20)$ y $(49,55)$ en el plano $xy$ y es tangente al eje $x.$ ¿Cuál es la longitud de su eje mayor?

An ellipse has foci at $(9,20)$ and $(49,55)$ in the $xy$ -plane and is tangent to the $x$ -axis. What is the length of its major axis?

Respuesta

Conceptos:elipse reflexión (geometría)fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

En el punto de tangencia, la suma constante de distancias es la mínima suma posible para un punto del eje $x$

At tangency, the constant sum of distances is the minimum such sum for a point on the $x$ -axis

Pista grande:

Refleja un foco respecto del eje $x$ para convertir el camino quebrado en un segmento recto

Reflect one focus across the $x$ -axis to turn the broken path into a straight segment

Solución:

Refleja $(49,55)$ respecto del eje $x$ para obtener $(49,-55).$ Para un punto $P$ del eje $x,$ la suma de sus distancias a los focos originales es igual a la longitud del camino quebrado desde $(9,20),$ pasando por $P,$ hasta $(49,-55).$ Su mínimo es la distancia en línea recta $\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85. \end{aligned}$ La tangencia significa que la suma constante de distancias de la elipse es igual a este mínimo. Esa suma es la longitud del eje mayor, así que la respuesta es $85.$

Reflect $(49,55)$ across the $x$ -axis to $(49,-55).$ For a point $P$ on the $x$ -axis, the sum of its distances to the original foci equals the length of a broken path from $(9,20)$ through $P$ to $(49,-55).$ Its minimum is the straight-line distance $\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85. \end{aligned}$ Tangency means that the ellipse’s constant distance sum equals this minimum. That sum is the major-axis length, so the answer is $85.$

12.

Sean $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ los vértices de un tetraedro regular cuyas aristas miden $1$ metro. Un insecto parte del vértice $A$ y sigue esta regla: en cada vértice elige, con la misma probabilidad, una de las tres aristas que inciden en él y recorre esa arista hasta el vértice del otro extremo. Sea $p=\frac{n}{729}$ la probabilidad de que el insecto esté en el vértice $A$ después de haber recorrido exactamente $7$ metros. Halla $n.$

Let $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ be the vertices of a regular tetrahedron, each of whose edges measures $1$ meter. A bug, starting from vertex $A,$ observes the following rule: at each vertex it chooses one of the three edges meeting at that vertex, each edge being equally likely to be chosen, and crawls along that edge to the vertex at its opposite end. Let $p=\frac{n}{729}$ be the probability that the bug is at vertex $A$ when it has crawled exactly $7$ meters. Find the value of $n.$

Respuesta

Conceptos:camino aleatorio recursión probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Sea $p_k$ la probabilidad de estar en $A$ después de $k$ pasos

Let $p_k$ be the probability of being at $A$ after $k$ steps

Pista grande:

Desde cualquier vértice distinto de $A,$ la probabilidad de pasar a $A$ es $\frac{1}{3}$

From any vertex other than $A,$ the probability of moving to $A$ is $\frac{1}{3}$

Solución:

Sea $p_k$ la probabilidad de que el insecto esté en $A$ después de $k$ pasos. No puede permanecer en $A,$ mientras que desde cualquier otro vértice pasa a $A$ con probabilidad $\frac{1}{3}.$ Por tanto, $p_{k+1}=\frac{1-p_k}{3},\qquad p_0=1.$ Al resolver esta recurrencia se obtiene $p_k=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^k.$ Así, $p_7=\frac14-\frac{3}{4\cdot3^7}=\frac{182}{729},$ por lo que $n=182.$

Let $p_k$ be the probability that the bug is at $A$ after $k$ steps. It cannot stay at $A,$ while from any other vertex it moves to $A$ with probability $\frac{1}{3}.$ Hence $p_{k+1}=\frac{1-p_k}{3},\qquad p_0=1.$ Solving this recurrence gives $p_k=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^k.$ Thus $p_7=\frac14-\frac{3}{4\cdot3^7}=\frac{182}{729},$ so $n=182.$

13.

Los números de la sucesión $101,$ $104,$ $109,$ $116,$ $\ldots$ tienen la forma $a_n=100+n^2,$ donde $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Para cada $n,$ sea $d_n$ el máximo común divisor de $a_n$ y $a_{n+1}.$ Halla el valor máximo de $d_n$ cuando $n$ recorre los enteros positivos.

The numbers in the sequence $101,$ $104,$ $109,$ $116,$ $\ldots$ are of the form $a_n=100+n^2,$ where $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ For each $n,$ let $d_n$ be the greatest common divisor of $a_n$ and $a_{n+1}.$ Find the maximum value of $d_n$ as $n$ ranges through the positive integers.

Respuesta

Conceptos:máximo común divisor manipulación algebraica primo

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Un divisor común de términos consecutivos también divide su diferencia $2n+1$

A common divisor of consecutive terms also divides their difference $2n+1$

Pista grande:

Combina $n^2+100$ y $2n+1$ para mostrar que el máximo común divisor divide a un primo fijo

Combine $n^2+100$ and $2n+1$ to show that the gcd divides a fixed prime

Solución:

Un divisor común $d_n$ divide a $a_{n+1}-a_n=2n+1.$ Por tanto, también divide a $\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401. \end{aligned}$ Como $401$ es primo, $d_n\leq401.$ La igualdad se alcanza cuando $n=200,$ pues $2n+1=401$ y $n^2+100=40100=100\cdot401.$ Por consiguiente, el máximo es $401.$

A common divisor $d_n$ divides $a_{n+1}-a_n=2n+1.$ It therefore also divides $\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401. \end{aligned}$ Since $401$ is prime, $d_n\leq401.$ Equality occurs at $n=200,$ because $2n+1=401$ and $n^2+100=40100=100\cdot401.$ Hence the maximum is $401.$

14.

En un torneo, cada participante jugó exactamente una partida contra cada uno de los demás. En cada partida, el ganador recibió $1$ punto, el perdedor recibió $0$ puntos y, si hubo empate, cada participante recibió $\frac12$ punto. Al terminar el torneo, se observó que exactamente la mitad de los puntos de cada participante se habían obtenido contra los diez participantes con menor puntuación. (En particular, cada uno de esos diez participantes obtuvo la mitad de sus puntos contra los otros nueve.) ¿Cuál era el número total de participantes en el torneo?

In a tournament each player played exactly one game against each of the other players. In each game the winner was awarded $1$ point, the loser got $0$ points, and each of the two players earned $\frac12$ point if the game was a tie. After the completion of the tournament, it was found that exactly half of the points earned by each player were earned against the ten players with the least number of points. (In particular, each of the ten lowest-scoring players earned half of her or his points against the other nine of the ten.) What was the total number of players in the tournament?

Respuesta

Conceptos:doble conteo teoría de grafos cuadrática

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Suma las puntuaciones de los diez participantes con menor puntuación y cuenta las partidas disputadas entre ellos

Sum the scores of the ten lowest-scoring players and count their internal games

Pista grande:

Sea $m$ la cantidad de participantes restantes y cuenta de dos maneras los puntos de las partidas entre los dos grupos

Let $m$ be the number of other players and double-count points from games across the two groups

Solución:

Las partidas entre los diez participantes con menor puntuación aportan $\binom{10}{2}=45$ puntos en total. Estos son la mitad de la puntuación conjunta de esos diez participantes, así que su puntuación conjunta es $90.$ Por tanto, obtuvieron $45$ puntos en partidas contra los otros $m$ participantes.

Por tanto, los demás participantes obtuvieron $10m-45$ puntos contra los diez de menor puntuación. Según la condición, esto es la mitad de su puntuación conjunta, que es $\binom{m+10}{2}-90.$ Así, $2(10m-45)=\binom{m+10}{2}-90,$ lo que da $(m-6)(m-15)=0.$ Si $m=6,$ los diez de menor puntuación promedian $9$ puntos, mientras que los otros seis promedian solo $5,$ de modo que estos últimos no podrían estar por encima de los primeros. Por tanto, $m=15,$ y el número total de participantes es $10+15=25.$

The games among the ten lowest players contribute $\binom{10}{2}=45$ total points. These are half of those ten players’ combined score, so their combined score is $90.$ Hence they earned $45$ points in games against the other $m$ players.

The other players therefore earned $10m-45$ points against the lowest ten. By the condition, this is half their combined score, which is $\binom{m+10}{2}-90.$ Thus $2(10m-45)=\binom{m+10}{2}-90,$ giving $(m-6)(m-15)=0.$ If $m=6,$ the lowest ten average $9$ points while the other six average only $5,$ impossible for the latter group to rank above them. Hence $m=15,$ and the total number of players is $10+15=25.$

15.

Como muestra la primera figura, se unen los puntos medios de dos lados adyacentes para cortar cada uno de tres cuadrados de $12\text{ cm}\times12\text{ cm}$ en dos piezas, $A$ y $B.$ Después, estas seis piezas se unen a un hexágono regular, como muestra la segunda figura, para plegarlas y formar un poliedro. ¿Cuál es el volumen, en $\text{cm}^3,$ de este poliedro?

Three $12\text{ cm}\times12\text{ cm}$ squares are each cut into two pieces $A$ and $B,$ as shown in the first figure below, by joining the midpoints of two adjacent sides. These six pieces are then attached to a regular hexagon, as shown in the second figure, so as to fold into a polyhedron. What is the volume (in $\text{cm}^3$ ) of this polyhedron?

Respuesta

Conceptos:geometría del cubo desarrollo plano (geometría 3D)volumen

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Observa que cada $A$ es una cara cuadrada con una esquina recortada y que cada $B$ es ese triángulo de la esquina

Recognize each $A$ as a square face with one corner cut off and each $B$ as that corner triangle

Pista grande:

Un plano que pasa por los puntos medios de seis aristas de un cubo corta un hexágono regular y divide el cubo en dos partes congruentes

A plane through six edge midpoints of a cube cuts a regular hexagon and divides the cube into two congruent parts

Solución:

Considera un cubo de $12\times12\times12$ y el plano que pasa por los puntos medios de las seis aristas que unen dos grupos opuestos de tres vértices. En coordenadas $0\leq x,y,z\leq12,$ este es el plano $x+y+z=18.$ Su sección transversal es un hexágono regular de lado $6\sqrt2,$ igual que el borde de corte que une los puntos medios de dos lados adyacentes.

En tres caras del cubo, el plano deja un cuadrado al que se le ha quitado un triángulo de una esquina, exactamente la pieza $A.$ En las otras tres caras, deja el triángulo rectángulo isósceles complementario de la esquina, exactamente la pieza $B.$ Así, el desarrollo mostrado es una de las dos partes en que el plano corta el cubo. La simetría central intercambia ambas partes, por lo que cada una tiene la mitad del volumen del cubo: $V=\frac{12^3}{2}=864.$

Consider a $12\times12\times12$ cube and the plane through the midpoints of the six edges that join opposite groups of three vertices. In coordinates $0\leq x,y,z\leq12,$ this is the plane $x+y+z=18.$ Its cross-section is a regular hexagon with side $6\sqrt2,$ the same as the cut edge joining adjacent side midpoints.

On three faces of the cube, the plane leaves a square with a corner triangle removed, exactly piece $A.$ On the other three faces, it leaves the complementary right-isosceles corner triangle, exactly piece $B.$ Thus the pictured net is one of the two pieces into which this plane cuts the cube. Central symmetry interchanges the two pieces, so each has half the cube’s volume: $V=\frac{12^3}{2}=864.$