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2008 AIME II Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2008 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

Sean r,r, s,s, y tt las tres raíces de la ecuación 8x3+1001x+2008=0.8x^3 + 1001x + 2008 = 0. Halla (r+s)3+(s+t)3+(t+r)3.(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.

Let r,r, s,s, and tt be the three roots of the equation 8x3+1001x+2008=0.8x^3 + 1001x + 2008 = 0. Find (r+s)3+(s+t)3+(t+r)3.(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.

Respuesta: 753
Conceptos:Fórmulas de Vietapolinomiosuma y diferencia de cubos
Nivel de dificultad: 2410
Pista pequeña:

No hay término x2x^2, así que r+s+t=0r + s + t = 0 y cada uno de r+s,r + s, s+t,s + t, t+rt + r es el opuesto de una raíz

There is no x2x^2 term, so r+s+t=0r + s + t = 0 and each of r+s,r + s, s+t,s + t, t+rt + r is the negative of a root

Pista grande:

Cuando x+y+z=0,x + y + z = 0, se aplica la identidad x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz; Vieta da el producto de las raíces a partir del término constante

When x+y+z=0,x + y + z = 0, the identity x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz applies; Vieta gives the product of the roots from the constant term

Solución:

La cúbica no tiene término x2x^2, así que r+s+t=0r + s + t = 0 por las fórmulas de Vieta. Por lo tanto r+s=−t,r + s = -t, s+t=−r,s + t = -r, y t+r=−s,t + r = -s, y la suma buscada es (−t)3+(−r)3+(−s)3=−(r3+s3+t3). \begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3). \end{aligned}

Siempre que r+s+t=0,r + s + t = 0, la identidad r3+s3+t3−3rstr^3 + s^3 + t^3 - 3rst =(r+s+t)= (r + s + t) (r2+s2+t2−rs−st−tr)(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr) da r3+s3+t3=3rst.r^3 + s^3 + t^3 = 3rst. Por las fórmulas de Vieta, rst=−20088=−251,rst = -\frac{2008}{8} = -251, así que r3+s3+t3=−753,r^3 + s^3 + t^3 = -753, y la respuesta es −(−753)=753.-(-753) = 753.

The cubic has no x2x^2 term, so r+s+t=0r + s + t = 0 by Vieta’s formulas. Hence r+s=−t,r + s = -t, s+t=−r,s + t = -r, and t+r=−s,t + r = -s, and the desired sum is (−t)3+(−r)3+(−s)3=−(r3+s3+t3). \begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3). \end{aligned}

Whenever r+s+t=0,r + s + t = 0, the identity r3+s3+t3−3rstr^3 + s^3 + t^3 - 3rst =(r+s+t)= (r + s + t) (r2+s2+t2−rs−st−tr)(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr) gives r3+s3+t3=3rst.r^3 + s^3 + t^3 = 3rst. By Vieta’s formulas, rst=−20088=−251,rst = -\frac{2008}{8} = -251, so r3+s3+t3=−753,r^3 + s^3 + t^3 = -753, and the answer is −(−753)=753.-(-753) = 753.

Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

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