Question

Sean $r,$ $s,$ y $t$ las tres raíces de la ecuación $8x^3 + 1001x + 2008 = 0.$ Halla $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.$

Let $r,$ $s,$ and $t$ be the three roots of the equation $8x^3 + 1001x + 2008 = 0.$ Find $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.$

Respuesta

Solución:

La cúbica no tiene término $x^2$ , así que $r + s + t = 0$ por las fórmulas de Vieta. Por lo tanto $r + s = -t,$ $s + t = -r,$ y $t + r = -s,$ y la suma buscada es $\begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3). \end{aligned}$

Siempre que $r + s + t = 0,$ la identidad $r^3 + s^3 + t^3 - 3rst$ $= (r + s + t)$ $(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr)$ da $r^3 + s^3 + t^3 = 3rst.$ Por las fórmulas de Vieta, $rst = -\frac{2008}{8} = -251,$ así que $r^3 + s^3 + t^3 = -753,$ y la respuesta es $-(-753) = 753.$

The cubic has no $x^2$ term, so $r + s + t = 0$ by Vieta's formulas. Hence $r + s = -t,$ $s + t = -r,$ and $t + r = -s,$ and the desired sum is $\begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3). \end{aligned}$

Whenever $r + s + t = 0,$ the identity $r^3 + s^3 + t^3 - 3rst$ $= (r + s + t)$ $(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr)$ gives $r^3 + s^3 + t^3 = 3rst.$ By Vieta's formulas, $rst = -\frac{2008}{8} = -251,$ so $r^3 + s^3 + t^3 = -753,$ and the answer is $-(-753) = 753.$

2008 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años