Solución:

Como cada seno es a lo sumo $1,$ necesitamos $\sin(mx) = \sin(nx) = 1,$ es decir $mx = \frac{\pi}{2} + 2\pi a$ y $nx = \frac{\pi}{2} + 2\pi b$ para enteros $a, b.$ Al eliminar $x$ se obtiene $n(4a + 1) = m(4b + 1),$ esto es, $4(na - mb) = m - n.$ Cuando $a$ y $b$ recorren los enteros, $na - mb$ toma exactamente los múltiplos de $g = \gcd(m, n),$ así que existe solución si y solo si $4g \mid n - m$, equivalentemente, escribiendo $m = gm'$ y $n = gn',$ si y solo si $m' \equiv n' \pmod 4$ (lo que obliga a que tanto $m'$ como $n'$ sean impares).

Para cada $g$ contamos los pares coprimos $m' \lt n' \le \lfloor 30/g \rfloor$ de números impares en la misma clase módulo $4.$ Para $g = 1:$ entre $1, 3, \ldots, 29$ hay ocho números $\equiv 1$ y siete $\equiv 3 \pmod 4,$ lo que da $\binom{8}{2} + \binom{7}{2} = 49$ pares, de los cuales los cinco pares $\{3,15\},$ $\{3,27\},$ $\{9,21\},$ $\{15,27\},$ $\{5,25\}$ no son coprimos, quedando $44.$ Para $g = 2$ (números impares hasta $15$): $\binom{4}{2} + \binom{4}{2} = 12$ menos el par $\{3,15\}$ da $11.$ Para $g = 3$ (hasta $10$): los pares $\{1,5\}, \{1,9\}, \{5,9\}, \{3,7\}$ dan $4.$ Para $g = 4$ (hasta $7$): $\{1,5\}$ y $\{3,7\}$ dan $2.$ Para $g = 5$ y $g = 6:$ solo $\{1,5\},$ que da $1$ cada uno. Para $g \ge 7$ necesitaríamos dos números impares distintos hasta $\lfloor 30/g \rfloor \le 4$ en la misma clase módulo $4,$ lo cual es imposible.

El total es $44 + 11 + 4 + 2 + 1 + 1 = 63.$