Question

Halle el número de enteros

c

tales que la ecuación

\left|\left|20|x| - x^2\right| - c\right| = 21

tiene

12

soluciones reales distintas.

Find the number of integers

c

such that the equation

\left|\left|20|x| - x^2\right| - c\right| = 21

has

12

distinct real solutions.

Respuesta

Respuesta: 57

Conceptos:valor absoluto función análisis por casos

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Sea

f(x) = \left|20|x| - x^2\right|.

La ecuación se divide en

f(x) = c + 21

y

f(x) = c - 21.

Let

f(x) = \left|20|x| - x^2\right|.

The equation splits into

f(x) = c + 21

and

f(x) = c - 21.

Pista grande:

Grafique

f:

toda altura estrictamente entre

0

y

100

se alcanza exactamente

6

veces, así que ambos niveles deben caer en ese rango

Graph

f:

every height strictly between

0

and

100

is hit exactly

6

times, so both levels must land in that range

Solución:

Sea

f(x) = \left|20|x| - x^2\right|,

una función par; la ecuación dice

f(x) = c + 21

o

f(x) = c - 21.

Para

x \ge 0,

la gráfica de

f

sube de

0

a

100

en

[0, 10],

vuelve a bajar a

0

en

x = 20,

y luego crece sin cota. Así que para

k

con

0 \lt k \lt 100,

la ecuación

f(x) = k

tiene

3

soluciones positivas, y por tanto

6

soluciones en total; para

k = 100

tiene

4;

para

k \gt 100

tiene

2;

y para

k = 0

tiene

3

(a saber

0

y

\pm 20

).

Los dos niveles

c + 21

y

c - 21

son distintos, así que la única manera de alcanzar

12

soluciones es

6 + 6:

tanto

c - 21

como

c + 21

deben estar estrictamente entre

0

y

100.

Esto significa

c \ge 22

y

c \le 78,

y todo entero así funciona: hay

78 - 22 + 1 = 57

valores.

Set

f(x) = \left|20|x| - x^2\right|,

an even function; the equation says

f(x) = c + 21

or

f(x) = c - 21.

For

x \ge 0,

the graph of

f

rises from

0

to

100

on

[0, 10],

falls back to

0

at

x = 20,

then increases without bound. So for

k

with

0 \lt k \lt 100,

the equation

f(x) = k

has

3

positive solutions, hence

6

solutions in all; for

k = 100

it has

4;

for

k \gt 100

it has

2;

and for

k = 0

it has

3

(namely

0

and

\pm 20

).

The two levels

c + 21

and

c - 21

are distinct, so the only way to reach

12

solutions is

6 + 6:

both

c - 21

and

c + 21

must lie strictly between

0

and

100.

This means

c \ge 22

and

c \le 78,

and every such integer works: there are

78 - 22 + 1 = 57

values.

2021 AIME I Problema 8

Respuesta: 57

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años