Question

Respuesta

Solución:

Sea $f(x) = \left|20|x| - x^2\right|,$ una función par; la ecuación dice $f(x) = c + 21$ o $f(x) = c - 21.$ Para $x \ge 0,$ la gráfica de $f$ sube de $0$ a $100$ en $[0, 10],$ vuelve a bajar a $0$ en $x = 20,$ y luego crece sin cota. Así que para $k$ con $0 \lt k \lt 100,$ la ecuación $f(x) = k$ tiene $3$ soluciones positivas, y por tanto $6$ soluciones en total; para $k = 100$ tiene $4;$ para $k \gt 100$ tiene $2;$ y para $k = 0$ tiene $3$ (a saber $0$ y $\pm 20$ ).

Los dos niveles $c + 21$ y $c - 21$ son distintos, así que la única manera de alcanzar $12$ soluciones es $6 + 6:$ tanto $c - 21$ como $c + 21$ deben estar estrictamente entre $0$ y $100.$ Esto significa $c \ge 22$ y $c \le 78,$ y todo entero así funciona: hay $78 - 22 + 1 = 57$ valores.

Set $f(x) = \left|20|x| - x^2\right|,$ an even function; the equation says $f(x) = c + 21$ or $f(x) = c - 21.$ For $x \ge 0,$ the graph of $f$ rises from $0$ to $100$ on $[0, 10],$ falls back to $0$ at $x = 20,$ then increases without bound. So for $k$ with $0 \lt k \lt 100,$ the equation $f(x) = k$ has $3$ positive solutions, hence $6$ solutions in all; for $k = 100$ it has $4;$ for $k \gt 100$ it has $2;$ and for $k = 0$ it has $3$ (namely $0$ and $\pm 20$ ).

The two levels $c + 21$ and $c - 21$ are distinct, so the only way to reach $12$ solutions is $6 + 6:$ both $c - 21$ and $c + 21$ must lie strictly between $0$ and $100.$ This means $c \ge 22$ and $c \le 78,$ and every such integer works: there are $78 - 22 + 1 = 57$ values.

2021 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años