Question

Dave lanza un dado justo de seis caras hasta que aparece un seis por primera vez. De forma independiente, Linda lanza un dado justo de seis caras hasta que aparece un seis por primera vez. Sean $m$ y $n$ enteros positivos primos entre sí tales que $\frac{m}{n}$ es la probabilidad de que el número de veces que Dave lanza su dado sea igual al número de veces que Linda lanza el suyo o difiera de él a lo sumo en uno. Halla $m + n.$

Dave rolls a fair six-sided die until a six appears for the first time. Independently, Linda rolls a fair six-sided die until a six appears for the first time. Let $m$ and $n$ be relatively prime positive integers such that $\frac{m}{n}$ is the probability that the number of times Dave rolls his die is equal to or within one of the number of times Linda rolls her die. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 41

Conceptos:distribución geométrica sucesión geométrica simetría

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

La probabilidad de que el primer seis aparezca en el lanzamiento $k$ es $p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}$

The chance the first six appears on roll $k$ is $p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}$

Pista grande:

Calcula $\sum p_k^2$ para un empate y $\sum p_k p_{k+1}$ para una diferencia de uno; ambas son series geométricas de razón $\frac{25}{36}$

Compute $\sum p_k^2$ for a tie and $\sum p_k p_{k+1}$ for a difference of one; both are geometric series with ratio $\frac{25}{36}$

Solución:

La probabilidad de que el primer seis de un jugador aparezca en el lanzamiento $k$ es $p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}.$ La probabilidad de un empate es $\sum_{k=1}^{\infty} p_k^2 = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{1}{11}.$

La probabilidad de que Linda necesite exactamente un lanzamiento más que Dave es $\sum_{k=1}^{\infty} p_k p_{k+1}$ $= \frac{5}{6} \sum_{k=1}^{\infty} p_k^2$ $= \frac{5}{66},$ y por simetría lo mismo vale intercambiando los jugadores.

La probabilidad total es $\frac{1}{11} + 2 \cdot \frac{5}{66} = \frac{6 + 10}{66} = \frac{8}{33},$ así que $m + n = 8 + 33 = 41.$

The probability that a player’s first six appears on roll $k$ is $p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}.$ The probability of a tie is $\sum_{k=1}^{\infty} p_k^2 = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{1}{11}.$

The probability that Linda needs exactly one more roll than Dave is $\sum_{k=1}^{\infty} p_k p_{k+1}$ $= \frac{5}{6} \sum_{k=1}^{\infty} p_k^2$ $= \frac{5}{66},$ and by symmetry the same holds with the players swapped.

The total probability is $\frac{1}{11} + 2 \cdot \frac{5}{66} = \frac{6 + 10}{66} = \frac{8}{33},$ so $m + n = 8 + 33 = 41.$

2009 AIME II Problema 8

Respuesta: 41

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años