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2001 AIME I Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2001 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

Llamamos a un entero positivo NN un doble 77–1010 si las cifras de la representación en base 77 de NN forman un número en base 1010 que es el doble de N.N. Por ejemplo, 5151 es un doble 77–1010 porque su representación en base 77 es 102.102. ¿Cuál es el mayor doble 77–1010?
Call a positive integer NN a 77–1010 double if the digits of the base-77 representation of NN form a base-1010 number that is twice N.N. For example, 5151 is a 77–1010 double because its base-77 representation is 102.102. What is the largest 77–1010 double?
Respuesta: 315
Conceptos:base numéricadígitosacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 2430
Pista pequeña:
Si NN tiene cifras en base 77 d2d1d0,d_2 d_1 d_0, la condición dice 100d2+10d1+d0100 d_2 + 10 d_1 + d_0 =2(49d2+7d1+d0)= 2(49 d_2 + 7 d_1 + d_0)
If NN has base-77 digits d2d1d0,d_2 d_1 d_0, the condition says 100d2+10d1+d0100 d_2 + 10 d_1 + d_0 =2(49d2+7d1+d0)= 2(49 d_2 + 7 d_1 + d_0)
Pista grande:
Esto se simplifica a 2d2=4d1+d0.2 d_2 = 4 d_1 + d_0. Una cuarta cifra es imposible porque 103−2⋅73=31410^3 - 2 \cdot 7^3 = 314 es mayor de lo que los demás términos podrían compensar.
That simplifies to 2d2=4d1+d0.2 d_2 = 4 d_1 + d_0. A fourth digit is impossible because 103−2⋅73=31410^3 - 2 \cdot 7^3 = 314 is bigger than the other terms could balance.
Solución:
Supongamos que NN tiene cifras en base 77 dk…d1d0.d_k \ldots d_1 d_0. La condición es ∑di 10i=2∑di 7i,\sum d_i \, 10^i = 2 \sum d_i \, 7^i, es decir ∑di (10i−2⋅7i)=0.\sum d_i \,(10^i - 2 \cdot 7^i) = 0. Los coeficientes 10i−2⋅7i10^i - 2 \cdot 7^i para i=0,1,2,3i = 0, 1, 2, 3 son −1,-1, −4,-4, 2,2, 314.314. Todo coeficiente con i≥3i\ge3 es positivo y al menos 314.314. Por tanto, si alguna cifra en una posición i≥3i\ge3 fuera distinta de cero, su contribución positiva no podría ser compensada por los dos términos negativos, cuya magnitud total es a lo sumo 4⋅6+6=30.4\cdot6+6=30. Así, NN tiene a lo sumo tres cifras en base 77.
Para tres cifras la condición es 2d2=4d1+d0.2 d_2 = 4 d_1 + d_0. Para maximizar N=49d2+7d1+d0,N = 49 d_2 + 7 d_1 + d_0, tomamos d2=6,d_2 = 6, de modo que 4d1+d0=12;4 d_1 + d_0 = 12; el mayor valor de 7d1+d07 d_1 + d_0 proviene de d1=3,d_1 = 3, d0=0.d_0 = 0.
Así N=49⋅6+7⋅3=315,N = 49 \cdot 6 + 7 \cdot 3 = 315, cuya representación en base 77 es 630=2⋅315.630 = 2 \cdot 315.
Suppose NN has base-77 digits dk…d1d0.d_k \ldots d_1 d_0. The condition is ∑di 10i=2∑di 7i,\sum d_i \, 10^i = 2 \sum d_i \, 7^i, that is ∑di (10i−2⋅7i)=0.\sum d_i \,(10^i - 2 \cdot 7^i) = 0. The coefficients 10i−2⋅7i10^i - 2 \cdot 7^i for i=0,1,2,3i = 0, 1, 2, 3 are −1,-1, −4,-4, 2,2, 314.314. Every coefficient for i≥3i\ge3 is positive and at least 314.314. Thus if any digit in a place i≥3i\ge3 were nonzero, its positive contribution could not be canceled by the two negative terms, whose total magnitude is at most 4⋅6+6=30.4\cdot6+6=30. So NN has at most three base-77 digits.
For three digits the condition reads 2d2=4d1+d0.2 d_2 = 4 d_1 + d_0. To maximize N=49d2+7d1+d0,N = 49 d_2 + 7 d_1 + d_0, take d2=6,d_2 = 6, so 4d1+d0=12;4 d_1 + d_0 = 12; the largest value of 7d1+d07 d_1 + d_0 comes from d1=3,d_1 = 3, d0=0.d_0 = 0.
Thus N=49⋅6+7⋅3=315,N = 49 \cdot 6 + 7 \cdot 3 = 315, whose base-77 representation is 630=2⋅315.630 = 2 \cdot 315.
Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9

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