Question

Llamamos a un entero positivo $N$ un doble $7$ – $10$ si las cifras de la representación en base $7$ de $N$ forman un número en base $10$ que es el doble de $N.$ Por ejemplo, $51$ es un doble $7$ – $10$ porque su representación en base $7$ es $102.$ ¿Cuál es el mayor doble $7$ – $10$ ?

Call a positive integer $N$ a $7$ – $10$ double if the digits of the base- $7$ representation of $N$ form a base- $10$ number that is twice $N.$ For example, $51$ is a $7$ – $10$ double because its base- $7$ representation is $102.$ What is the largest $7$ – $10$ double?

Respuesta

Respuesta: 315

Conceptos:base numérica dígitos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Si $N$ tiene cifras en base $7$ $d_2 d_1 d_0,$ la condición dice $100 d_2 + 10 d_1 + d_0$ $= 2(49 d_2 + 7 d_1 + d_0)$

If $N$ has base- $7$ digits $d_2 d_1 d_0,$ the condition says $100 d_2 + 10 d_1 + d_0$ $= 2(49 d_2 + 7 d_1 + d_0)$

Pista grande:

Esto se simplifica a $2 d_2 = 4 d_1 + d_0.$ Una cuarta cifra es imposible porque $10^3 - 2 \cdot 7^3 = 314$ es mayor de lo que los demás términos podrían compensar.

That simplifies to $2 d_2 = 4 d_1 + d_0.$ A fourth digit is impossible because $10^3 - 2 \cdot 7^3 = 314$ is bigger than the other terms could balance.

Solución:

Supongamos que $N$ tiene cifras en base $7$ $d_k \ldots d_1 d_0.$ La condición es $\sum d_i \, 10^i = 2 \sum d_i \, 7^i,$ es decir $\sum d_i \,(10^i - 2 \cdot 7^i) = 0.$ Los coeficientes $10^i - 2 \cdot 7^i$ para $i = 0, 1, 2, 3$ son $-1,$ $-4,$ $2,$ $314.$ Todo coeficiente con $i\ge3$ es positivo y al menos $314.$ Por tanto, si alguna cifra en una posición $i\ge3$ fuera distinta de cero, su contribución positiva no podría ser compensada por los dos términos negativos, cuya magnitud total es a lo sumo $4\cdot6+6=30.$ Así, $N$ tiene a lo sumo tres cifras en base $7$ .

Para tres cifras la condición es $2 d_2 = 4 d_1 + d_0.$ Para maximizar $N = 49 d_2 + 7 d_1 + d_0,$ tomamos $d_2 = 6,$ de modo que $4 d_1 + d_0 = 12;$ el mayor valor de $7 d_1 + d_0$ proviene de $d_1 = 3,$ $d_0 = 0.$

Así $N = 49 \cdot 6 + 7 \cdot 3 = 315,$ cuya representación en base $7$ es $630 = 2 \cdot 315.$

Suppose $N$ has base- $7$ digits $d_k \ldots d_1 d_0.$ The condition is $\sum d_i \, 10^i = 2 \sum d_i \, 7^i,$ that is $\sum d_i \,(10^i - 2 \cdot 7^i) = 0.$ The coefficients $10^i - 2 \cdot 7^i$ for $i = 0, 1, 2, 3$ are $-1,$ $-4,$ $2,$ $314.$ Every coefficient for $i\ge3$ is positive and at least $314.$ Thus if any digit in a place $i\ge3$ were nonzero, its positive contribution could not be canceled by the two negative terms, whose total magnitude is at most $4\cdot6+6=30.$ So $N$ has at most three base- $7$ digits.

For three digits the condition reads $2 d_2 = 4 d_1 + d_0.$ To maximize $N = 49 d_2 + 7 d_1 + d_0,$ take $d_2 = 6,$ so $4 d_1 + d_0 = 12;$ the largest value of $7 d_1 + d_0$ comes from $d_1 = 3,$ $d_0 = 0.$

Thus $N = 49 \cdot 6 + 7 \cdot 3 = 315,$ whose base- $7$ representation is $630 = 2 \cdot 315.$

2001 AIME I Problema 8

Respuesta: 315

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años