Question

Sea $\mathcal{T}$ el conjunto de las ternas ordenadas $(x, y, z)$ de números reales no negativos que están en el plano $x + y + z = 1.$ Digamos que $(x, y, z)$ sostiene a $(a, b, c)$ cuando exactamente dos de las siguientes son verdaderas: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de aquellas ternas de $\mathcal{T}$ que sostienen a $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ El área de $\mathcal{S}$ dividida entre el área de $\mathcal{T}$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $\mathcal{T}$ be the set of ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative real numbers that lie in the plane $x + y + z = 1.$ Let us say that $(x, y, z)$ supports $(a, b, c)$ when exactly two of the following are true: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Let $\mathcal{S}$ consist of those triples in $\mathcal{T}$ that support $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ The area of $\mathcal{S}$ divided by the area of $\mathcal{T}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

$\mathcal{T}$ es el triángulo con vértices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Como $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ siempre que se cumplen dos de las desigualdades $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ , la tercera solo puede cumplirse en un segmento de frontera de área cero. Así que $\mathcal{S}$ es, salvo medida cero, la unión de las tres regiones donde se cumple un par específico de desigualdades.

La región con $x \ge \frac{1}{2}$ y $y \ge \frac{1}{3}$ se convierte, tras sustituir $x = \frac{1}{2} + x'$ y $y = \frac{1}{3} + y',$ en una copia de $\mathcal{T}$ con suma de coordenadas $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ es decir, un triángulo semejante a $\mathcal{T}$ con razón $\frac{1}{6}$ y área $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ de la de $\mathcal{T}.$ De igual modo, los pares $\{x, z\}$ y $\{y, z\}$ dan triángulos semejantes con razones $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}.$

La razón de las áreas es $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ así que $m + n = 7 + 18 = 25.$

$\mathcal{T}$ is the triangle with vertices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Because $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ whenever two of the inequalities $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ hold, the third can hold only on a boundary segment of zero area. So $\mathcal{S}$ is, up to measure zero, the union of the three regions where a specific pair of inequalities holds.

The region with $x \ge \frac{1}{2}$ and $y \ge \frac{1}{3}$ becomes, after substituting $x = \frac{1}{2} + x'$ and $y = \frac{1}{3} + y',$ a copy of $\mathcal{T}$ with coordinate sum $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ i.e. a triangle similar to $\mathcal{T}$ with ratio $\frac{1}{6}$ and area $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ of $\mathcal{T}.$ Likewise the pairs $\{x, z\}$ and $\{y, z\}$ give similar triangles with ratios $\frac{1}{3}$ and $\frac{1}{2}.$

The ratio of areas is $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ so $m + n = 7 + 18 = 25.$

1999 AIME Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años