Question

Sea $T$ el conjunto de las ternas ordenadas $(x, y, z)$ de números reales no negativos que están en el plano $x + y + z = 1.$ Digamos que $(x, y, z)$ sostiene a $(a, b, c)$ cuando exactamente dos de las siguientes son verdaderas: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Sea $S$ el conjunto de aquellas ternas de $T$ que sostienen a $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ El área de $S$ dividida entre el área de $T$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $T$ be the set of ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative real numbers that lie in the plane $x + y + z = 1.$ Let us say that $(x, y, z)$ supports $(a, b, c)$ when exactly two of the following are true: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Let $S$ consist of those triples in $T$ that support $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ The area of $S$ divided by the area of $T$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 25

Conceptos:razón de áreas semejanza análisis por casos

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

$T$ es un triángulo, y cada condición como $x \ge \frac{1}{2}$ recorta una esquina con una recta paralela a un lado

$T$ is a triangle, and each condition like $x \ge \frac{1}{2}$ cuts off a corner with a line parallel to a side

Pista grande:

Como $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1,$ las tres desigualdades se cumplen simultáneamente solo en un punto de la frontera; aparte de ese punto, cada región de dos desigualdades es un triángulo semejante a $T$

Since $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1,$ all three inequalities hold only at one boundary point; apart from that point, each two-inequality region is a triangle similar to $T$

Solución:

$T$ es el triángulo con vértices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Como $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ siempre que se cumplen dos de las desigualdades $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ , la tercera solo puede cumplirse en un punto de la frontera, de área cero. Así que $S$ es, salvo medida cero, la unión de las tres regiones donde se cumple un par específico de desigualdades.

La región con $x \ge \frac{1}{2}$ y $y \ge \frac{1}{3}$ se convierte, tras sustituir $x = \frac{1}{2} + x'$ y $y = \frac{1}{3} + y',$ en una copia de $T$ con suma de coordenadas $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ es decir, un triángulo semejante a $T$ con razón $\frac{1}{6}$ y área $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ de la de $T.$ De igual modo, los pares $\{x, z\}$ y $\{y, z\}$ dan triángulos semejantes con razones $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}.$

La razón de las áreas es $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ así que $m + n = 7 + 18 = 25.$

$T$ is the triangle with vertices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Because $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ whenever two of the inequalities $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ hold, the third can hold only at a boundary point of zero area. So $S$ is, up to measure zero, the union of the three regions where a specific pair of inequalities holds.

The region with $x \ge \frac{1}{2}$ and $y \ge \frac{1}{3}$ becomes, after substituting $x = \frac{1}{2} + x'$ and $y = \frac{1}{3} + y',$ a copy of $T$ with coordinate sum $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ i.e. a triangle similar to $T$ with ratio $\frac{1}{6}$ and area $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ of $T.$ Likewise the pairs $\{x, z\}$ and $\{y, z\}$ give similar triangles with ratios $\frac{1}{3}$ and $\frac{1}{2}.$

The ratio of areas is $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ so $m + n = 7 + 18 = 25.$

1999 AIME Problema 8

Respuesta: 25

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años