Question

El círculo

C

con radio

2

tiene diámetro

\overline{AB}.

El círculo

D

es tangente interiormente al círculo

C

en

A.

El círculo

E

es tangente interiormente al círculo

C,

tangente exteriormente al círculo

D,

y tangente a

\overline{AB}.

El radio del círculo

D

es tres veces el radio del círculo

E

y se puede escribir en la forma

\sqrt{m} - n,

donde

m

y

n

son enteros positivos. Halla

m + n.

Circle

C

with radius

2

has diameter

\overline{AB}.

Circle

D

is internally tangent to circle

C

at

A.

Circle

E

is internally tangent to circle

C,

externally tangent to circle

D,

and tangent to

\overline{AB}.

The radius of circle

D

is three times the radius of circle

E

and can be written in the form

\sqrt{m} - n,

where

m

and

n

are positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 254

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras radical

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Sea

s

el radio del círculo

E

y sea

F

el pie de la perpendicular trazada desde su centro a

\overline{AB};

expresa

CF

y

DF

con el teorema de Pitágoras

Let

s

be the radius of circle

E

and drop its center to a foot

F

on

\overline{AB};

express

CF

and

DF

with the Pythagorean theorem

Pista grande:

DF = DC + CF

da

s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s};

aislar un radical y elevar al cuadrado dos veces deja una ecuación cuadrática en

s

DF = DC + CF

gives

s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s};

isolating one radical and squaring twice leaves a quadratic in

s

Solución:

Sean

C,

D,

E

también los nombres de los centros de los círculos, sea

s

el radio del círculo

E,

de modo que el círculo

D

tiene radio

3s,

y sea

F

el pie de

E

sobre

\overline{AB}.

La tangencia da

CE = 2 - s,

DE = 3s + s = 4s,

y

EF = s,

mientras que

D

está sobre

\overline{AB}

con

DC = 2 - 3s.

Los triángulos rectángulos

CEF

y

DEF

dan

CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2}

= \sqrt{4 - 4s}

y

DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}.

Como

F

está en el lado opuesto de

C

respecto de

A,

tenemos

DF = DC + CF,

así que

s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.

Pasar

2 - 3s

a la izquierda y elevar al cuadrado da

24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s),

es decir

12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s);

elevar al cuadrado de nuevo produce

9s^2 + 84s - 44 = 0,

así que

s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}.

El radio del círculo

D

es

3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14,

y

m + n = 240 + 14 = 254.

Let

C,

D,

E

also name the circles’ centers, let

s

be the radius of circle

E,

so circle

D

has radius

3s,

and let

F

be the foot of

E

on

\overline{AB}.

Tangency gives

CE = 2 - s,

DE = 3s + s = 4s,

and

EF = s,

while

D

lies on

\overline{AB}

with

DC = 2 - 3s.

Right triangles

CEF

and

DEF

give

CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2}

= \sqrt{4 - 4s}

and

DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}.

Since

F

is on the opposite side of

C

from

A,

we have

DF = DC + CF,

so

s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.

Moving

2 - 3s

to the left and squaring gives

24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s),

i.e.

12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s);

squaring again yields

9s^2 + 84s - 44 = 0,

so

s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}.

The radius of circle

D

is

3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14,

and

m + n = 240 + 14 = 254.

2014 AIME II Problema 8

Respuesta: 254

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años