Question

Halle el número de enteros positivos $n$ menores que $2017$ tales que $\begin{aligned} &1 + n + \frac{n^2}{2!} + \frac{n^3}{3!} + \frac{n^4}{4!} \\ &{}+ \frac{n^5}{5!} + \frac{n^6}{6!} \end{aligned}$ es un entero.

Find the number of positive integers $n$ less than $2017$ such that $\begin{aligned} &1 + n + \frac{n^2}{2!} + \frac{n^3}{3!} + \frac{n^4}{4!} \\ &{}+ \frac{n^5}{5!} + \frac{n^6}{6!} \end{aligned}$ is an integer.

Respuesta

Solución:

Multiplicando por $6! = 720,$ la suma es un entero exactamente cuando $\begin{aligned} &720 \mid n^6 + 6n^5 + 30n^4 \\ &{}+ 120n^3 + 360n^2. \end{aligned}$ Si $n$ fuera impar, todos los términos excepto $n^6$ serían pares, haciendo el total impar. Si $3 \nmid n,$ entonces módulo $3$ todos los términos excepto $n^6$ se anulan mientras que $n^6 \equiv 1 \pmod 3.$ Así que $n$ debe ser múltiplo de $6.$

Escriba $n = 6k.$ Entonces $30n^4 = 720 \cdot 54k^4,$ $120n^3 = 720 \cdot 36k^3,$ y $360n^2 = 720 \cdot 18k^2$ son todos divisibles por $720,$ mientras que $n^6 + 6n^5 = 6^6 k^5(k + 1).$ Como $6^6 = 2^6 3^6$ aporta los factores $2^4$ y $3^2$ de $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ la condición se reduce a $5 \mid k(k + 1),$ es decir, $k \equiv 0$ o $4 \pmod 5.$

Para $n = 6k \lt 2017$ necesitamos $1 \le k \le 336.$ Ese rango contiene $67$ múltiplos de $5$ y $67$ valores con $k \equiv 4 \pmod 5,$ así que hay $67 + 67 = 134$ tales $n.$

Multiplying by $6! = 720,$ the sum is an integer exactly when $\begin{aligned} &720 \mid n^6 + 6n^5 + 30n^4 \\ &{}+ 120n^3 + 360n^2. \end{aligned}$ If $n$ were odd, every term except $n^6$ would be even, making the total odd. If $3 \nmid n,$ then modulo $3$ every term except $n^6$ vanishes while $n^6 \equiv 1 \pmod 3.$ So $n$ must be a multiple of $6.$

Write $n = 6k.$ Then $30n^4 = 720 \cdot 54k^4,$ $120n^3 = 720 \cdot 36k^3,$ and $360n^2 = 720 \cdot 18k^2$ are all divisible by $720,$ while $n^6 + 6n^5 = 6^6 k^5(k + 1).$ Since $6^6 = 2^6 3^6$ supplies the factors $2^4$ and $3^2$ of $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ the condition reduces to $5 \mid k(k + 1),$ that is, $k \equiv 0$ or $4 \pmod 5.$

For $n = 6k \lt 2017$ we need $1 \le k \le 336.$ That range contains $67$ multiples of $5$ and $67$ values with $k \equiv 4 \pmod 5,$ so there are $67 + 67 = 134$ such $n.$

2017 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años