Question

Una baraja especial de cartas contiene $49$ cartas, cada una etiquetada con un número del $1$ al $7$ y coloreada con uno de siete colores. Cada combinación de número y color aparece en exactamente una carta. Sharon seleccionará al azar un conjunto de ocho cartas de la baraja. Dado que obtiene al menos una carta de cada color y al menos una carta con cada número, la probabilidad de que Sharon pueda descartar una de sus cartas y todavía tener al menos una carta de cada color y al menos una carta con cada número es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $p + q.$

A special deck of cards contains $49$ cards, each labeled with a number from $1$ to $7$ and colored with one of seven colors. Each number-color combination appears on exactly one card. Sharon will select a set of eight cards from the deck at random. Given that she gets at least one card of each color and at least one card with each number, the probability that Sharon can discard one of her cards and still have at least one card of each color and at least one card with each number is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Como las ocho cartas cubren los siete números y los siete colores, exactamente un número y exactamente un color aparecen dos veces. Sharon puede descartar una carta exactamente cuando una sola carta lleva tanto el número repetido como el color repetido: esa carta es entonces la única descartable, mientras que si ninguna carta lleva ambos, quitar cualquier carta pierde un número o un color.

Las manos del primer tipo consisten en un conjunto arcoíris de siete cartas, una de cada número y cada color, que es uno de $7!$ patrones de permutación, más cualquiera de las $42$ cartas restantes, y cada mano así surge exactamente una vez de este modo: $7! \cdot 42 = 211680$ manos. Para el segundo tipo, elija el número repetido ( $7$ maneras) y los dos colores de sus cartas ( $\binom{7}{2} = 21$ maneras); el color repetido debe ser uno de los otros $5$ colores, y los números de sus dos cartas provienen de los $6$ números restantes ( $\binom{6}{2} = 15$ maneras); finalmente empareje los últimos cuatro números con los últimos cuatro colores ( $4! = 24$ maneras). Eso da $7 \cdot 21 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 24 = 264600$ manos.

La probabilidad es $\frac{211680}{211680 + 264600} = \frac{4}{9},$ así que $p + q = 4 + 9 = 13.$

Since the eight cards cover all seven numbers and all seven colors, exactly one number and exactly one color appear twice. Sharon can discard a card exactly when a single card carries both the repeated number and the repeated color: that card is then the unique discardable one, while if no card carries both, removing any card loses a number or a color.

Hands of the first type consist of a rainbow set of seven cards — one of each number and each color, which is one of $7!$ permutation patterns — plus any of the remaining $42$ cards, and every such hand arises exactly once this way: $7! \cdot 42 = 211680$ hands. For the second type, choose the repeated number ( $7$ ways) and the two colors of its cards ( $\binom{7}{2} = 21$ ways); the repeated color must be one of the other $5$ colors, and the numbers of its two cards come from the remaining $6$ numbers ( $\binom{6}{2} = 15$ ways); finally match the last four numbers to the last four colors ( $4! = 24$ ways). That is $7 \cdot 21 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 24 = 264600$ hands.

The probability is $\frac{211680}{211680 + 264600} = \frac{4}{9},$ so $p + q = 4 + 9 = 13.$

2017 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años