Question

Una partícula está ubicada en el plano coordenado en $(5, 0).$ Define un movimiento para la partícula como una rotación en sentido antihorario de $\pi/4$ radianes alrededor del origen seguida de una traslación de $10$ unidades en la dirección positiva del eje $x$ . Dado que la posición de la partícula después de $150$ movimientos es $(p, q),$ halla el mayor entero menor o igual que $|p| + |q|.$

A particle is located on the coordinate plane at $(5, 0).$ Define a move for the particle as a counterclockwise rotation of $\pi/4$ radians about the origin followed by a translation of $10$ units in the positive $x$ -direction. Given that the particle's position after $150$ moves is $(p, q),$ find the greatest integer less than or equal to $|p| + |q|.$

Respuesta

Solución:

Identifica el plano con el plano complejo, así que un movimiento envía $z$ a $\omega z + 10$ con $\omega = e^{i\pi/4}.$ Partiendo de $z_0 = 5$ e iterando, $\begin{aligned} z_{150} &= 5\omega^{150} \\ &\quad {}+ 10 \scriptsize\left(\omega^{149} + \omega^{148} + \cdots + \omega + 1\right). \end{aligned}$

Como $\omega^8 = 1$ y $150 = 8 \cdot 18 + 6,$ obtenemos $\omega^{150} = \omega^6 = -i.$ En la suma geométrica, cada bloque de $8$ potencias consecutivas suma $0,$ así que los $150$ términos se reducen a $1 + \omega + \cdots + \omega^5$ $= -\omega^6 - \omega^7$ $= i - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\right).$ Por lo tanto $\begin{aligned} z_{150} &= -5i \\ &\quad {}+ 10 \scriptsize\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)i\right) \\ &= -5\sqrt{2} + \left(5 + 5\sqrt{2}\right)i. \end{aligned}$

Así, $|p| + |q| = 5\sqrt{2} + 5 + 5\sqrt{2}$ $= 5 + 10\sqrt{2} \approx 19.14,$ y el mayor entero menor o igual que esto es $19.$

Identify the plane with the complex plane, so a move sends $z$ to $\omega z + 10$ with $\omega = e^{i\pi/4}.$ Starting from $z_0 = 5$ and iterating, $\begin{aligned} z_{150} &= 5\omega^{150} \\ &\quad {}+ 10 \scriptsize\left(\omega^{149} + \omega^{148} + \cdots + \omega + 1\right). \end{aligned}$

Since $\omega^8 = 1$ and $150 = 8 \cdot 18 + 6,$ we get $\omega^{150} = \omega^6 = -i.$ In the geometric sum, every block of $8$ consecutive powers adds to $0,$ so the $150$ terms reduce to $1 + \omega + \cdots + \omega^5$ $= -\omega^6 - \omega^7$ $= i - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\right).$ Therefore $\begin{aligned} z_{150} &= -5i \\ &\quad {}+ 10 \scriptsize\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)i\right) \\ &= -5\sqrt{2} + \left(5 + 5\sqrt{2}\right)i. \end{aligned}$

Thus $|p| + |q| = 5\sqrt{2} + 5 + 5\sqrt{2}$ $= 5 + 10\sqrt{2} \approx 19.14,$ and the greatest integer less than or equal to this is $19.$

2008 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años