Question

Un entero entre

1000

y

9999,

inclusive, se llama equilibrado si la suma de sus dos dígitos más a la izquierda es igual a la suma de sus dos dígitos más a la derecha. ¿Cuántos enteros equilibrados hay?

An integer between

1000

and

9999,

inclusive, is called balanced if the sum of its two leftmost digits equals the sum of its two rightmost digits. How many balanced integers are there?

Respuesta

Respuesta: 615

Conceptos:dígitos análisis por casos suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Agrupa por la suma común de cada par de dígitos

s;

cuenta por separado los pares de la izquierda (primer dígito no nulo) y los pares de la derecha.

Group by the common digit-pair sum

s;

count leftmost pairs (first digit nonzero) and rightmost pairs separately

Pista grande:

Para

s \le 9

las cuentas son

s

y

s + 1;

para

s \ge 10

ambas valen

19 - s.

Suma los productos.

For

s \le 9

the counts are

s

and

s + 1;

for

s \ge 10

both equal

19 - s.

Sum the products.

Solución:

Agrupa los enteros equilibrados por la suma común

s

de cada par de dígitos, donde

1 \le s \le 18.

Para

s \le 9,

el par de la izquierda (primer dígito al menos

1

) puede formarse de

s

maneras y el par de la derecha de

s + 1

maneras. Para

s \ge 10,

ambos dígitos de cada par deben ser al menos

s - 9,

lo que da

19 - s

maneras para cada par.

La cuenta total es

\begin{aligned} &\sum_{s=1}^{9} s(s+1) + \sum_{s=10}^{18} (19 - s)^2 \\ &= \sum_{s=1}^{9} (s^2 + s) + \sum_{k=1}^{9} k^2 \\ &= 2 \cdot 285 + 45 = 615. \end{aligned}

Group the balanced integers by the common sum

s

of each digit pair, where

1 \le s \le 18.

For

s \le 9,

the leftmost pair (first digit at least

1

) can be formed in

s

ways and the rightmost pair in

s + 1

ways. For

s \ge 10,

both digits of each pair must be at least

s - 9,

giving

19 - s

ways for each pair.

The total count is

\begin{aligned} &\sum_{s=1}^{9} s(s+1) + \sum_{s=10}^{18} (19 - s)^2 \\ &= \sum_{s=1}^{9} (s^2 + s) + \sum_{k=1}^{9} k^2 \\ &= 2 \cdot 285 + 45 = 615. \end{aligned}

2003 AIME I Problema 9

Respuesta: 615

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años