Question

Un entero entre $1000$ y $9999,$ inclusive, se llama equilibrado si la suma de sus dos dígitos más a la izquierda es igual a la suma de sus dos dígitos más a la derecha. ¿Cuántos enteros equilibrados hay?

An integer between $1000$ and $9999,$ inclusive, is called balanced if the sum of its two leftmost digits equals the sum of its two rightmost digits. How many balanced integers are there?

Respuesta

Respuesta: 615

Conceptos:dígitos análisis por casos suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Agrupa por la suma común de cada par de dígitos $s;$ cuenta por separado los pares de la izquierda (primer dígito no nulo) y los pares de la derecha.

Group by the common digit-pair sum $s;$ count leftmost pairs (first digit nonzero) and rightmost pairs separately

Pista grande:

Para $s \le 9$ las cuentas son $s$ y $s + 1;$ para $s \ge 10$ ambas valen $19 - s.$ Suma los productos.

For $s \le 9$ the counts are $s$ and $s + 1;$ for $s \ge 10$ both equal $19 - s.$ Sum the products.

Solución:

Agrupa los enteros equilibrados por la suma común $s$ de cada par de dígitos, donde $1 \le s \le 18.$ Para $s \le 9,$ el par de la izquierda (primer dígito al menos $1$ ) puede formarse de $s$ maneras y el par de la derecha de $s + 1$ maneras. Para $s \ge 10,$ ambos dígitos de cada par deben ser al menos $s - 9,$ lo que da $19 - s$ maneras para cada par.

La cuenta total es $\begin{aligned} &\sum_{s=1}^{9} s(s+1) + \sum_{s=10}^{18} (19 - s)^2 \\ &= \sum_{s=1}^{9} (s^2 + s) + \sum_{k=1}^{9} k^2 \\ &= 2 \cdot 285 + 45 = 615. \end{aligned}$

Group the balanced integers by the common sum $s$ of each digit pair, where $1 \le s \le 18.$ For $s \le 9,$ the leftmost pair (first digit at least $1$ ) can be formed in $s$ ways and the rightmost pair in $s + 1$ ways. For $s \ge 10,$ both digits of each pair must be at least $s - 9,$ giving $19 - s$ ways for each pair.

The total count is $\begin{aligned} &\sum_{s=1}^{9} s(s+1) + \sum_{s=10}^{18} (19 - s)^2 \\ &= \sum_{s=1}^{9} (s^2 + s) + \sum_{k=1}^{9} k^2 \\ &= 2 \cdot 285 + 45 = 615. \end{aligned}$

2003 AIME I Problema 9

Respuesta: 615

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años