Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2014 AIME I Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2014 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Sean x1<x2<x3x_1 \lt x_2 \lt x_3 las tres raíces reales de la ecuación 2014 x3−4029x2+2=0.\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0. Halla x2(x1+x3).x_2(x_1 + x_3).
Let x1<x2<x3x_1 \lt x_2 \lt x_3 be the three real roots of the equation 2014 x3−4029x2+2=0.\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0. Find x2(x1+x3).x_2(x_1 + x_3).
Respuesta: 2
Conceptos:polinomiofactorizaciónFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Como 4029=2⋅2014+1,4029 = 2 \cdot 2014 + 1, la cúbica se factoriza como (2014 x−1)\left(\sqrt{2014}\,x - 1\right) por una cuadrática
Since 4029=2⋅2014+1,4029 = 2 \cdot 2014 + 1, the cubic factors as (2014 x−1)\left(\sqrt{2014}\,x - 1\right) times a quadratic
Pista grande:
La cuadrática x2−22014 x−2x^2 - 2\sqrt{2014}\,x - 2 tiene una raíz negativa y una raíz positiva grande, así que la raíz del medio es 12014\frac{1}{\sqrt{2014}}
The quadratic x2−22014 x−2x^2 - 2\sqrt{2014}\,x - 2 has one negative root and one large positive root, so the middle root is 12014\frac{1}{\sqrt{2014}}
Solución:
Escribe a=2014,a = \sqrt{2014}, de modo que la ecuación es ax3−(2a2+1)x2+2=0.ax^3 - (2a^2 + 1)x^2 + 2 = 0. Se factoriza como (ax−1)(x2−2ax−2)=0,\left(ax - 1\right)\left(x^2 - 2ax - 2\right) = 0, como confirma el desarrollo. Así que una raíz es 1a,\frac{1}{a}, y las otras dos son a±a2+2,a \pm \sqrt{a^2 + 2}, con producto −2-2 y suma 2a.2a.
Como a−a2+2<0a - \sqrt{a^2+2} \lt 0 <1a<a+a2+2,\lt \frac{1}{a} \lt a + \sqrt{a^2+2}, la raíz del medio es x2=1a,x_2 = \frac{1}{a}, y x1+x3=2a.x_1 + x_3 = 2a. Por lo tanto x2(x1+x3)=1a⋅2a=2.x_2(x_1 + x_3) = \frac{1}{a} \cdot 2a = 2.
Write a=2014,a = \sqrt{2014}, so the equation is ax3−(2a2+1)x2+2=0.ax^3 - (2a^2 + 1)x^2 + 2 = 0. It factors as (ax−1)(x2−2ax−2)=0,\left(ax - 1\right)\left(x^2 - 2ax - 2\right) = 0, as expanding confirms. So one root is 1a,\frac{1}{a}, and the other two are a±a2+2,a \pm \sqrt{a^2 + 2}, with product −2-2 and sum 2a.2a.
Since a−a2+2<0a - \sqrt{a^2+2} \lt 0 <1a<a+a2+2,\lt \frac{1}{a} \lt a + \sqrt{a^2+2}, the middle root is x2=1a,x_2 = \frac{1}{a}, and x1+x3=2a.x_1 + x_3 = 2a. Therefore x2(x1+x3)=1a⋅2a=2.x_2(x_1 + x_3) = \frac{1}{a} \cdot 2a = 2.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

El Problema 9 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II