Question

Sean $x_1 \lt x_2 \lt x_3$ las tres raíces reales de la ecuación $\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0.$ Halla $x_2(x_1 + x_3).$

Let $x_1 \lt x_2 \lt x_3$ be the three real roots of the equation $\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0.$ Find $x_2(x_1 + x_3).$

Respuesta

Solución:

Escribe $a = \sqrt{2014},$ de modo que la ecuación es $ax^3 - (2a^2 + 1)x^2 + 2 = 0.$ Se factoriza como $\left(ax - 1\right)\left(x^2 - 2ax - 2\right) = 0,$ como confirma el desarrollo. Así que una raíz es $\frac{1}{a},$ y las otras dos son $a \pm \sqrt{a^2 + 2},$ con producto $-2$ y suma $2a.$

Como $a - \sqrt{a^2+2} \lt 0$ $\lt \frac{1}{a} \lt a + \sqrt{a^2+2},$ la raíz del medio es $x_2 = \frac{1}{a},$ y $x_1 + x_3 = 2a.$ Por lo tanto $x_2(x_1 + x_3) = \frac{1}{a} \cdot 2a = 2.$

Write $a = \sqrt{2014},$ so the equation is $ax^3 - (2a^2 + 1)x^2 + 2 = 0.$ It factors as $\left(ax - 1\right)\left(x^2 - 2ax - 2\right) = 0,$ as expanding confirms. So one root is $\frac{1}{a},$ and the other two are $a \pm \sqrt{a^2 + 2},$ with product $-2$ and sum $2a.$

Since $a - \sqrt{a^2+2} \lt 0$ $\lt \frac{1}{a} \lt a + \sqrt{a^2+2},$ the middle root is $x_2 = \frac{1}{a},$ and $x_1 + x_3 = 2a.$ Therefore $x_2(x_1 + x_3) = \frac{1}{a} \cdot 2a = 2.$

2014 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años