Question

El trapecio $ABCD$ tiene lados $AB=92,$ $BC=50,$ $CD=19$ y $AD=70,$ con $AB$ paralelo a $CD.$ Se traza un círculo con centro $P$ sobre $AB$ , tangente a $BC$ y $AD.$ Dado que $AP=\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos, halla $m+n.$

Trapezoid $ABCD$ has sides $AB=92,$ $BC=50,$ $CD=19,$ and $AD=70,$ with $AB$ parallel to $CD.$ A circle with center $P$ on $AB$ is drawn tangent to $BC$ and $AD.$ Given that $AP=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 164

Conceptos:geometría analítica trapecio circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Coloca $AB$ sobre el eje $x$ y compara las distancias de $P$ a los dos lados no paralelos

Put $AB$ on the $x$ -axis and compare the distances from $P$ to the two legs

Pista grande:

La altura común del trapecio se cancela y queda una ecuación con $AP$ y $PB$ divididos entre las longitudes de los lados no paralelos

The common trapezoid height cancels, leaving an equation involving $AP$ and $PB$ divided by the leg lengths

Solución:

Toma $A=(0,0),$ $B=(92,0),$ y sea $h$ la altura del trapecio. Si $P=(p,0),$ sus distancias perpendiculares a los lados $AD$ y $BC$ son $\frac{hp}{70}$ y $\frac{h(92-p)}{50},$ respectivamente. La tangencia con ambos lados hace que estas distancias sean iguales, así que $\frac p{70}=\frac{92-p}{50}.$ Por consiguiente, $120p=6440$ y $AP=p=\frac{161}{3}.$ Por lo tanto, $m+n=161+3=164.$

Put $A=(0,0),$ $B=(92,0),$ and let the height of the trapezoid be $h.$ If $P=(p,0),$ its perpendicular distances to legs $AD$ and $BC$ are $\frac{hp}{70}$ and $\frac{h(92-p)}{50},$ respectively. Tangency to both legs makes these equal, so $\frac p{70}=\frac{92-p}{50}.$ Hence $120p=6440$ and $AP=p=\frac{161}{3}.$ Therefore $m+n=161+3=164.$

1992 AIME Problema 9

Respuesta: 164

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años