Question

Considera la región $A$ del plano complejo formada por todos los puntos $z$ tales que tanto $\frac{z}{40}$ como $\frac{40}{\overline z}$ tienen sus partes real e imaginaria entre $0$ y $1,$ inclusive. ¿Cuál es el entero más cercano al área de $A$ ?

Consider the region $A$ in the complex plane that consists of all points $z$ such that both $\frac{z}{40}$ and $\frac{40}{\overline z}$ have real and imaginary parts between $0$ and $1,$ inclusive. What is the integer that is nearest the area of $A?$

Respuesta

Respuesta: 572

Conceptos:número complejo área del círculo inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Escribe $z=x+iy$ ; la primera condición da un cuadrado y la segunda da dos desigualdades que describen círculos

Write $z=x+iy$ ; the first condition gives a square, and the second gives two circle inequalities

Pista grande:

Resta del cuadrado de $40$ por $40$ la unión de dos semicírculos, teniendo en cuenta su intersección en forma de lente

Subtract from the $40$ -by- $40$ square the union of two semicircles, accounting for their lens-shaped overlap

Solución:

Escribe $z=x+iy.$ La condición sobre $\frac{z}{40}$ da $0\leq x\leq40$ y $0\leq y\leq40.$ Como $\frac{40}{\overline z}=\frac{40x}{x^2+y^2}+i\frac{40y}{x^2+y^2},$ la otra condición exige $x^2+y^2\geq40x$ y $x^2+y^2\geq40y.$ Por lo tanto, dentro del cuadrado se eliminan dos semicírculos de radio $20.$

Su intersección es la lente formada por dos círculos de radio $20$ cuyos centros distan $20\sqrt2$ . Su área es $200\pi-400.$ Así, la unión eliminada tiene área $400\pi-(200\pi-400)$ , es decir, $200\pi+400.$ Sea $K$ el área de $A.$ Entonces $\begin{aligned}K&=1600-(200\pi+400)\\&=1200-200\pi\\&\approx571.68.\end{aligned}$ El entero más cercano es $572.$

Write $z=x+iy.$ The condition on $\frac{z}{40}$ gives $0\leq x\leq40$ and $0\leq y\leq40.$ Since $\frac{40}{\overline z}=\frac{40x}{x^2+y^2}+i\frac{40y}{x^2+y^2},$ the other condition requires $x^2+y^2\geq40x$ and $x^2+y^2\geq40y.$ Thus, within the square, we remove two semicircles of radius $20.$

Their overlap is the lens formed by two radius- $20$ circles whose centers are $20\sqrt2$ apart. Its area is $200\pi-400.$ Hence the removed union has area $400\pi-(200\pi-400)$ , or $200\pi+400.$ Let $K$ denote the area of $A.$ Then $\begin{aligned}K&=1600-(200\pi+400)\\&=1200-200\pi\\&\approx571.68.\end{aligned}$ The nearest integer is $572.$

1992 AIME Problema 10

Respuesta: 572

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años