Question

Los conjuntos $A=\{z:z^{18}=1\}$ y $B=\{w:w^{48}=1\}$ son conjuntos de raíces complejas de la unidad. El conjunto $C=\{zw:z\in A,\ w\in B\}$ también es un conjunto de raíces complejas de la unidad. ¿Cuántos elementos distintos hay en $C$ ?

The sets $A=\{z:z^{18}=1\}$ and $B=\{w:w^{48}=1\}$ are both sets of complex roots of unity. The set $C=\{zw:z\in A,\ w\in B\}$ is also a set of complex roots of unity. How many distinct elements are in $C?$

Respuesta

Respuesta: 144

Conceptos:raíces de la unidad mínimo común múltiplo número complejo

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Escribe las raíces como exponenciales cuyos argumentos sean múltiplos de $\frac{2\pi}{18}$ y $\frac{2\pi}{48}$

Write the roots as exponentials whose arguments are multiples of $\frac{2\pi}{18}$ and $\frac{2\pi}{48}$

Pista grande:

Las sumas de esos argumentos generan todos los múltiplos de $\frac{2\pi}{\operatorname{lcm}(18,48)}$

The sums of those arguments generate all multiples of $\frac{2\pi}{\operatorname{lcm}(18,48)}$

Solución:

Los argumentos de los productos de $C$ son $2\pi\left(\frac a{18}+\frac b{48}\right)=\frac{2\pi(8a+3b)}{144}.$ Como $\gcd(8,3)=1,$ los residuos $8a+3b$ generan todos los residuos módulo $144.$ Así, $C$ es precisamente el conjunto de las raíces de orden $144$ de la unidad. De manera equivalente, su orden es $\operatorname{lcm}(18,48)=144.$

The arguments of products in $C$ are $2\pi\left(\frac a{18}+\frac b{48}\right)=\frac{2\pi(8a+3b)}{144}.$ Since $\gcd(8,3)=1,$ the residues $8a+3b$ generate every residue modulo $144.$ Thus $C$ is precisely the set of $144$ th roots of unity. Equivalently, its order is $\operatorname{lcm}(18,48)=144.$

1990 AIME Problema 10

Respuesta: 144

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años