Question

Alguien observó que $6!=8\cdot9\cdot10.$ Halla el mayor entero positivo $n$ para el cual $n!$ puede expresarse como el producto de $n-3$ enteros positivos consecutivos.

Someone observed that $6!=8\cdot9\cdot10.$ Find the largest positive integer $n$ for which $n!$ can be expressed as the product of $n-3$ consecutive positive integers.

Respuesta

Respuesta: 23

Conceptos:factorial acotación a casos límite desigualdad

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Compara $n!$ con los productos de $n-3$ enteros consecutivos que comienzan en $4$ y en $5$

Compare $n!$ with products of $n-3$ consecutive integers beginning at $4$ and at $5$

Pista grande:

El producto que comienza en $5$ es igual a $\frac{(n+1)!}{4!}$

The product beginning at $5$ equals $\frac{(n+1)!}{4!}$

Solución:

Los $n-3$ enteros consecutivos que comienzan en $4$ tienen producto $4\cdot5\cdots n=\frac{n!}{6},$ mientras que los que comienzan en $5$ tienen producto $\begin{aligned}5\cdot6\cdots(n+1)&=\frac{(n+1)!}{24}\\&=\frac{n+1}{24}n!.\end{aligned}$ Para $n=23,$ el segundo producto es igual a $n!,$ así que $23$ funciona. Para todo $n\geq24,$ el producto que comienza en $4$ es menor que $n!,$ el que comienza en $5$ es mayor que $n!,$ y el producto aumenta estrictamente con su término inicial. Por consiguiente, ningún $n\geq24$ funciona y el mayor valor posible es $23.$

The $n-3$ consecutive integers beginning at $4$ have product $4\cdot5\cdots n=\frac{n!}{6},$ while those beginning at $5$ have product $\begin{aligned}5\cdot6\cdots(n+1)&=\frac{(n+1)!}{24}\\&=\frac{n+1}{24}n!.\end{aligned}$ For $n=23,$ the latter product equals $n!,$ so $23$ works. For every $n\geq24,$ the product beginning at $4$ is below $n!,$ the product beginning at $5$ is above $n!,$ and the product strictly increases with its initial term. Hence no $n\geq24$ works, and the largest possible value is $23.$

1990 AIME Problema 11

Respuesta: 23

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años