Question

Un prisma rectangular recto $P$ (es decir, un paralelepípedo rectangular) tiene aristas de longitudes enteras $a,$ $b,$ $c,$ con $a\leq b\leq c.$ Un plano paralelo a una cara de $P$ corta a $P$ en dos prismas, uno de los cuales es semejante a $P,$ y ambos tienen volumen no nulo. Dado que $b=1995,$ ¿para cuántas ternas ordenadas $(a,b,c)$ existe tal plano?

A right rectangular prism $P$ (i.e., a rectangular parallelepiped) has sides of integral length $a,$ $b,$ $c,$ with $a\leq b\leq c.$ A plane parallel to one of the faces of $P$ cuts $P$ into two prisms, one of which is similar to $P,$ and both of which have nonzero volume. Given that $b=1995,$ for how many ordered triples $(a,b,c)$ does such a plane exist?

Respuesta

Respuesta: 40

Conceptos:semejanza conteo de factores factorización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Ordena las tres aristas del prisma menor y compáralas en orden con $a,$ $b,$ y $c$

Sort the three side lengths of the smaller prism and compare them in order with $a,$ $b,$ and $c$

Pista grande:

Las dos dimensiones que no cambian obligan a que $\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c}$

The two unchanged dimensions force $\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c}$

Solución:

Sean $x\leq y\leq z$ las aristas ordenadas del prisma menor semejante. Este comparte dos longitudes con $P,$ y sus tres aristas ordenadas son menores que las correspondientes de $P.$ La única correspondencia posible es $y=a$ y $z=b=1995.$ La semejanza da entonces $\frac{x}{a}=\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c},$ así que $ac=1995^2.$ Recíprocamente, cada par de factores $a<c$ produce un corte no degenerado. Como $1995=3\cdot5\cdot7\cdot19,$ su cuadrado tiene $3^4=81$ divisores. Al excluir el par central $a=c=1995$ y tomar un divisor de cada par restante se obtiene $\frac{81-1}{2}=40.$

Let the similar smaller prism have sorted sides $x\leq y\leq z.$ It shares two side lengths with $P,$ and all three of its sorted sides are smaller than the corresponding sides of $P.$ The only possible matching is $y=a$ and $z=b=1995.$ Similarity then gives $\frac{x}{a}=\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c},$ so $ac=1995^2.$ Conversely every factor pair $a<c$ gives a nondegenerate cut. Since $1995=3\cdot5\cdot7\cdot19,$ its square has $3^4=81$ divisors. Excluding the central pair $a=c=1995$ and taking one divisor from each remaining pair gives $\frac{81-1}{2}=40.$

1995 AIME Problema 11

Respuesta: 40

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años