Question

Halla el mayor valor posible de $k$ para el cual $3^{11}$ puede expresarse como la suma de $k$ enteros positivos consecutivos.

Find the largest possible $k$ for which $3^{11}$ is expressible as the sum of $k$ consecutive positive integers.

Respuesta

Respuesta: 486

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad exponente

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Escribe la suma como $\frac{k(2a+k-1)}{2}$

Write the sum as $\frac{k(2a+k-1)}{2}$

Pista grande:

Las únicas longitudes posibles dividen a $2\cdot3^{11}$ ; después exige que el primer término sea positivo

The only possible lengths divide $2\cdot3^{11}$ ; then enforce a positive first term

Solución:

Si el primer término es $a,$ entonces $2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).$ Por tanto, $k$ es de la forma $3^j$ o $2\cdot3^j.$ La mayor opción par viable es $k=2\cdot3^5=486,$ para la cual $2a+k-1=3^6=729$ y $a=122>0.$ Los siguientes candidatos, $3^6$ y $2\cdot3^6,$ obligan a que el primer término no sea positivo, al igual que todas las opciones mayores. Por tanto, $k=486.$

If the first term is $a,$ then $2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).$ Thus $k$ is $3^j$ or $2\cdot3^j.$ The largest viable even choice is $k=2\cdot3^5=486,$ for which $2a+k-1=3^6=729$ and $a=122>0.$ The next candidates, $3^6$ and $2\cdot3^6,$ force a nonpositive first term, as do all larger choices. Hence $k=486.$

1987 AIME Problema 11

Respuesta: 486

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años