Question

Sean $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ números complejos. Una recta $L$ del plano complejo se llama recta media de los puntos $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ si $L$ contiene puntos (números complejos) $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ tales que

$\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0.$

Para los números $w_1=32+170i,$ $w_2=-7+64i,$ $w_3=-9+200i,$ $w_4=1+27i,$ y $w_5=-14+43i,$ hay una única recta media cuya intersección con el eje $y$ es $3.$ Halla la pendiente de esta recta media.

Let $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ be complex numbers. A line $L$ in the complex plane is called a mean line for the points $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ if $L$ contains points (complex numbers) $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ such that

$\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0.$

For the numbers $w_1=32+170i,$ $w_2=-7+64i,$ $w_3=-9+200i,$ $w_4=1+27i,$ and $w_5=-14+43i,$ there is a unique mean line with $y$ -intercept $3.$ Find the slope of this mean line.

Respuesta

Respuesta: 163

Conceptos:número complejo baricentro pendiente

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Usa la ecuación $\sum(z_k-w_k)=0$ para comparar los promedios de los dos conjuntos de puntos

Average the equation $\sum(z_k-w_k)=0$

Pista grande:

Una recta media es exactamente una recta que pasa por el centroide de los puntos dados

A mean line is exactly a line through the centroid of the given points

Solución:

La condición dice que el promedio de los $z_k$ es igual al promedio de los $w_k.$ Como todos los $z_k$ están en $L,$ su promedio está en $L;$ a la inversa, cualquier recta que pase por el promedio funciona tomando todos los $z_k$ iguales a ese punto. El centroide satisface $\begin{aligned}\bar x&=\frac{32-7-9+1-14}{5}=\frac35,\\\bar y&=\frac{170+64+200+27+43}{5}\\&=\frac{504}{5}.\end{aligned}$ La recta que pasa por este punto y $(0,3)$ tiene pendiente $\frac{\bigl(\frac{504}{5}-3\bigr)}{\frac35}=163.$

The condition says that the average of the $z_k$ equals the average of the $w_k.$ Since all $z_k$ lie on $L,$ their average lies on $L;$ conversely, any line through the average works by taking all $z_k$ equal to that point. The centroid satisfies $\begin{aligned}\bar x&=\frac{32-7-9+1-14}{5}=\frac35,\\\bar y&=\frac{170+64+200+27+43}{5}\\&=\frac{504}{5}.\end{aligned}$ The line through this point and $(0,3)$ has slope $\frac{\bigl(\frac{504}{5}-3\bigr)}{\frac35}=163.$

1988 AIME Problema 11

Respuesta: 163

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años