Question

设 $w_1$ 、 $w_2$ 、 $\ldots$ 、 $w_n$ 为复数。若复平面内的一条直线 $L$ 包含点（复数） $z_1$ 、 $z_2$ 、 $\ldots$ 、 $z_n$ ，使得下式成立，就称 $L$ 为点 $w_1$ 、 $w_2$ 、 $\ldots$ 、 $w_n$ 的平均线：

$\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0\text{。}$

对于 $w_1=32+170i$ 、 $w_2=-7+64i$ 、 $w_3=-9+200i$ 、 $w_4=1+27i$ 和 $w_5=-14+43i$ ，存在唯一一条 $y$ 轴截距为 $3$ 的平均线。求这条平均线的斜率。

Let $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ be complex numbers. A line $L$ in the complex plane is called a mean line for the points $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ if $L$ contains points (complex numbers) $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ such that

$\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0.$

For the numbers $w_1=32+170i,$ $w_2=-7+64i,$ $w_3=-9+200i,$ $w_4=1+27i,$ and $w_5=-14+43i,$ there is a unique mean line with $y$ -intercept $3.$ Find the slope of this mean line.

答案

答案：163

知识点：复数重心斜率

难度评级：1970

小提示：

利用等式 $\sum(z_k-w_k)=0$ 比较两组点的平均值

Average the equation $\sum(z_k-w_k)=0$

大提示：

平均线恰好是经过给定各点重心的直线

A mean line is exactly a line through the centroid of the given points

解答：

该条件说明 $z_k$ 的平均值等于 $w_k$ 的平均值。因为所有 $z_k$ 都在 $L$ 上，所以它们的平均值也在 $L$ 上；反之，对于任何经过该平均值的直线，只需令所有 $z_k$ 都等于该点即可。重心满足 $\begin{aligned}\bar x&=\frac{32-7-9+1-14}{5}=\frac35,\\\bar y&=\frac{170+64+200+27+43}{5}\\&=\frac{504}{5}\end{aligned}\text{。}$ 经过该点与 $(0,3)$ 的直线斜率为 $\frac{\bigl(\frac{504}{5}-3\bigr)}{\frac35}=163$ 。

The condition says that the average of the $z_k$ equals the average of the $w_k.$ Since all $z_k$ lie on $L,$ their average lies on $L;$ conversely, any line through the average works by taking all $z_k$ equal to that point. The centroid satisfies $\begin{aligned}\bar x&=\frac{32-7-9+1-14}{5}=\frac35,\\\bar y&=\frac{170+64+200+27+43}{5}\\&=\frac{504}{5}.\end{aligned}$ The line through this point and $(0,3)$ has slope $\frac{\bigl(\frac{504}{5}-3\bigr)}{\frac35}=163.$

1988 AIME 第 11 题

答案：163

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题