Question

设 $P$ 为三角形 $ABC$ 的内点，从各顶点作经过 $P$ 的直线并延伸至对边。令 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 表示图中所示线段的长度。若 $a+b+c=43$ ，且 $d=3$ ，求乘积 $abc$ 。

Let $P$ be an interior point of triangle $ABC$ and extend lines from the vertices through $P$ to the opposite sides. Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ denote the lengths of the segments indicated in the figure. Find the product $abc$ if $a+b+c=43$ and $d=3.$

答案

答案：441

知识点：质点法比与比例对称性（代数）

难度评级：2380

小提示：

用比值 $a:d$ 、 $b:d$ 、 $c:d$ 表示 $P$ 的三个重心坐标

Express the three barycentric coordinates of $P$ using the ratios $a:d,$ $b:d,$ $c:d$

大提示：

使用 $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1$ ，并作对称展开

Use $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1$ and expand symmetrically

解答：

沿从 $A$ 出发的塞瓦线， $A$ 处的重心坐标为 $\frac{d}{a+d}$ ，其他顶点同理。因为三个坐标之和为 $1$ ，且 $d=3$ ，所以 $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1\text{。}$ 令 $s_1=a+b+c=43$ 、 $s_2=ab+bc+ca$ ，且 $s_3=abc$ 。清除分母得 $\begin{aligned}3(s_2+6s_1+27)&=s_3+3s_2\\&\quad+9s_1+27\end{aligned}\text{。}$ 因此 $s_3=9s_1+54$ ，所以 $s_3=9(43)+54=441$ 。

Along the cevian from $A,$ the barycentric coordinate at $A$ is $\frac{d}{a+d},$ and similarly at the other vertices. Since the three coordinates sum to $1$ and $d=3,$ $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1.$ Put $s_1=a+b+c=43,$ $s_2=ab+bc+ca,$ and $s_3=abc.$ Clearing denominators gives $\begin{aligned}3(s_2+6s_1+27)&=s_3+3s_2\\&\quad+9s_1+27.\end{aligned}$ Therefore $s_3=9s_1+54,$ so $s_3=9(43)+54=441.$

1988 AIME 第 12 题

答案：441

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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