Question

在凸四边形 $ABCD$ 中， $\angle A \cong \angle C$ ， $AB = CD = 180$ ，且 $AD \ne BC$ 。四边形 $ABCD$ 的周长为 $640$ 。求 $\lfloor 1000 \cos A \rfloor$ 。（记号 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

In convex quadrilateral $ABCD,$ $\angle A \cong \angle C,$ $AB = CD = 180,$ and $AD \ne BC.$ The perimeter of $ABCD$ is $640.$ Find $\lfloor 1000 \cos A \rfloor.$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ means the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

答案

答案：777

知识点：余弦定理平方差

难度评级：2560

小提示：

用余弦定理计算 $BD^2$ ：分别在三角形 $ABD$ 和 $CDB$ 中计算，并令结果相等。

Compute $BD^2$ by the Law of Cosines in triangles $ABD$ and $CDB,$ and set the results equal

大提示：

因为 $AD \ne BC$ ，除以 $AD - BC$ 后得到 $\cos A = \frac{AD + BC}{360}$ ，且 $AD + BC = 640 - 360$ 。

Because $AD \ne BC,$ dividing by $AD - BC$ leaves $\cos A = \frac{AD + BC}{360},$ and $AD + BC = 640 - 360$

解答：

设 $\angle A = \angle C = \alpha$ ， $AD = x$ ， $BC = y$ 。对角线 $BD$ 在三角形 $ABD$ 和 $CDB$ 中分别用余弦定理： $\begin{aligned} BD^2 &= x^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180x\cos\alpha \\ &= y^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180y\cos\alpha \end{aligned}\text{。}$

整理得 $x^2 - y^2 = 2 \cdot 180(x - y)\cos\alpha$ ，因为 $x \ne y$ 可除以 $x - y$ ： $\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{x + y}{360} \\ &= \frac{640 - 2 \cdot 180}{360} \\ &= \frac{280}{360} = \frac{7}{9} \end{aligned}\text{。}$

于是 $1000\cos A = \frac{7000}{9} = 777.7\ldots$ ，所以 $\lfloor 1000\cos A \rfloor = 777$ 。

Let $\angle A = \angle C = \alpha,$ $AD = x,$ and $BC = y.$ Applying the Law of Cosines to diagonal $BD$ in triangles $ABD$ and $CDB,$ $\begin{aligned} BD^2 &= x^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180x\cos\alpha \\ &= y^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180y\cos\alpha. \end{aligned}$

Rearranging gives $x^2 - y^2 = 2 \cdot 180(x - y)\cos\alpha,$ and since $x \ne y$ we may divide by $x - y:$ $\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{x + y}{360} \\ &= \frac{640 - 2 \cdot 180}{360} \\ &= \frac{280}{360} = \frac{7}{9}. \end{aligned}$

Then $1000\cos A = \frac{7000}{9} = 777.7\ldots,$ so $\lfloor 1000\cos A \rfloor = 777.$

2003 AIME I 第 12 题

答案：777

难度评级：2560

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