Question

正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$ ， $AB = 900$ 。点 $E$ 和 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $AE \lt BF$ ， $E$ 在 $A$ 与 $F$ 之间， $m\angle EOF = 45^\circ$ ，并且 $EF = 400$ 。已知 $BF = p + q\sqrt{r}$ ，其中 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 是正整数，且 $r$ 不被任何质数的平方整除，求 $p + q + r$ 。

Square $ABCD$ has center $O,$ $AB = 900,$ $E$ and $F$ are on $\overline{AB}$ with $AE \lt BF$ and $E$ between $A$ and $F,$ $m\angle EOF = 45^\circ,$ and $EF = 400.$ Given that $BF = p + q\sqrt{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers and $r$ is not divisible by the square of any prime, find $p + q + r.$

答案

答案：307

知识点：三角恒等式韦达定理正方形（几何）

难度评级：3060

小提示：

令 $G$ 为 $\overline{AB}$ 的中点；则 $OG = 450$ ，且射线 $OG$ 将 $45^\circ$ 角分成 $\alpha + \beta$ 。

Let $G$ be the midpoint of $\overline{AB};$ then $OG = 450,$ and ray $OG$ splits the $45^\circ$ angle into $\alpha + \beta$

大提示：

由 $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}$ 和 $\tan(\alpha + \beta) = 1$ ，得 $\tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{9}$ ；然后解一个二次方程。

From $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}$ and $\tan(\alpha + \beta) = 1,$ get $\tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{9};$ then solve a quadratic

解答：

令 $G$ 为 $\overline{AB}$ 的中点，则 $OG \perp AB$ 且 $OG = 450$ 。设 $\alpha = \angle EOG$ 、 $\beta = \angle FOG$ ，它们位于射线 $OG$ 的两侧，则 $EG = 450\tan\alpha$ ， $FG = 450\tan\beta$ ，且 $\alpha + \beta = 45^\circ$ 。由 $EG + FG = EF = 400$ ，得 $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}$ 。

正切加法公式给出 $1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\text{，}$ 所以 $\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ 。因此 $\tan\alpha$ 和 $\tan\beta$ 是 $9t^2 - 8t + 1 = 0$ 的根，即 $\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}$ 。

由于 $AE = 450 - EG$ 且 $BF = 450 - FG$ ，条件 $AE \lt BF$ 意味着 $EG \gt FG$ ，因此 $\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ 。于是 $BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ $= 250 + 50\sqrt{7}$ ，且 $p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307$ 。

Let $G$ be the midpoint of $\overline{AB},$ so $OG \perp AB$ and $OG = 450.$ With $\alpha = \angle EOG$ and $\beta = \angle FOG$ on either side of ray $OG,$ we have $EG = 450\tan\alpha,$ $FG = 450\tan\beta,$ and $\alpha + \beta = 45^\circ.$ From $EG + FG = EF = 400,$ we get $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}.$

The tangent addition formula gives $1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta},$ so $\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}.$ Hence $\tan\alpha$ and $\tan\beta$ are the roots of $9t^2 - 8t + 1 = 0,$ namely $\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}.$

Since $AE = 450 - EG$ and $BF = 450 - FG,$ the condition $AE \lt BF$ means $EG \gt FG,$ so $\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}.$ Then $BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ $= 250 + 50\sqrt{7},$ and $p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307.$

2005 AIME II 第 12 题

答案：307

难度评级：3060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题