Question

设 $m$ 是满足其立方根形如 $n+r$ 的最小整数，其中 $n$ 为正整数，且 $0<r<\frac{1}{1000}$ 。求 $n$ 。

Let $m$ be the smallest integer whose cube root has the form $n+r,$ where $n$ is a positive integer and $0<r<\frac{1}{1000}.$ Find $n.$

答案

答案：19

知识点：完全幂估算不等式

难度评级：2110

小提示：

对固定的 $n$ ，最小的可能整数为 $m=n^3+1$

For fixed $n,$ the smallest possible integer is $m=n^3+1$

大提示：

比较 $n^3+1$ 与 $(n+0.001)^3$

Compare $n^3+1$ with $(n+0.001)^3$

解答：

对给定的 $n$ ，使立方根刚好大于 $n$ 的最接近候选整数为 $m=n^3+1$ 。我们需要 $n^3+1<(n+0.001)^3$ ，即 $1<0.003n^2+0.000003n+10^{-9}$ 。当 $n=18$ 时不成立，而当 $n=19$ 时成立。右端在正整数 $n$ 的范围内递增，所以每个更小的 $n$ 都不成立；每个更大的 $n$ 所对应的最小候选整数 $m=n^3+1$ 也更大。因此，最小的 $m$ 在 $n=19$ 时取得。

For a given $n,$ the closest integer cube-root candidate above $n$ is $m=n^3+1.$ We need $n^3+1<(n+0.001)^3,$ or $1<0.003n^2+0.000003n+10^{-9}.$ This fails at $n=18$ and holds at $n=19.$ The right-hand side is increasing for positive $n,$ so every smaller $n$ fails; every larger $n$ has a larger least candidate $m=n^3+1.$ Hence the smallest $m$ occurs with $n=19.$

1987 AIME 第 12 题

答案：19

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题