1987 AIME 真题与在线限时测验

计时

3:00:00

1.

如果非负整数有序对 $(m,n)$ 在以 $10$ 为底计算 $m+n$ 时不需要进位，则称它为“简单”有序对。求和为 $1492$ 的简单有序对的个数。

An ordered pair $(m,n)$ of nonnegative integers is called “simple” if adding $m+n$ in base $10$ requires no carrying. Find the number of simple ordered pairs that sum to $1492.$

答案

答案：300

知识点：数字位值乘法原理

难度评级：1490

小提示：

分别考虑四个数位

Treat the four decimal places independently

大提示：

在不进位的情况下，目标数字 $d$ 可以用 $d+1$ 种方式拆成一个有序数字对

A target digit $d$ can be split into an ordered pair of digits in $d+1$ ways without carrying

解答：

对于目标数字 $d$ ，和为 $d$ 的非负数字有序对共有 $d+1$ 个。因此，四个数字 $1$ 、 $4$ 、 $9$ 、 $2$ 分别独立地给出 $2$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $3$ 种选择。答案为 $2\cdot5\cdot10\cdot3=300$ 。

For a target digit $d,$ there are $d+1$ ordered pairs of nonnegative digits with sum $d.$ The four digits $1,$ $4,$ $9,$ $2$ therefore give $2,$ $5,$ $10,$ $3$ choices independently. The answer is $2\cdot5\cdot10\cdot3=300.$

2.

一个点在以 $(-2,-10,5)$ 为球心、半径为 $19$ 的球面上，另一个点在以 $(12,8,-16)$ 为球心、半径为 $87$ 的球面上。两点间距离的最大可能值是多少？

What is the largest possible distance between two points, one on the sphere of radius $19$ centered at $(-2,-10,5)$ and the other on the sphere of radius $87$ centered at $(12,8,-16)?$

答案

答案：137

知识点：球距离公式三角不等式

难度评级：1340

小提示：

先求两个球心之间的距离

First find the distance between the two centers

大提示：

最大值在两点分别位于球心连线向外延伸的两侧时取得

The maximum occurs along the line of centers, on the two outward sides

解答：

两球心间距离的平方为 $14^2+18^2+(-21)^2=961$ ，所以两球心相距 $\sqrt{961}=31$ 。由三角不等式，两点间的最大距离在球心连线上取得，等于 $19+31+87=137$ 。

The squared distance between the centers is $14^2+18^2+(-21)^2=961,$ so they are $\sqrt{961}=31$ apart. By the triangle inequality, the greatest point-to-point distance is obtained on the line of centers and equals $19+31+87=137.$

3.

一个自然数的真因数是除 $1$ 和该数本身以外的正整数因数。如果一个大于 $1$ 的自然数等于其所有不同真因数的乘积，就称它为“美好数”。求前十个美好数之和。

A proper divisor of a natural number is a positive integral divisor other than $1$ and the number itself. A natural number greater than $1$ is called “nice” if it equals the product of its distinct proper divisors. What is the sum of the first ten nice numbers?

答案

答案：182

知识点：因数个数质因数分解

难度评级：1830

小提示：

用该数及其正因数个数表示所有正因数的乘积

Express the product of all positive divisors in terms of the number and its divisor count

大提示：

美好数恰好是有四个正因数的数

The nice numbers are exactly those having four positive divisors

解答：

若 $N$ 有 $d$ 个正因数，则它们的乘积为 $N^{\frac{d}{2}}$ 。去掉 $1$ 和 $N$ 后，剩余乘积为 $N^{\frac{d}{2}-1}$ ，它恰好在 $d=4$ 时等于 $N$ 。因此，美好数恰好是 $p^3$ 或 $pq$ 形式的数，其中后者的两个质数不同。前十个美好数为 $6$ 、 $8$ 、 $10$ 、 $14$ 、 $15$ 、 $21$ 、 $22$ 、 $26$ 、 $27$ 、 $33$ ，它们的和为 $182$ 。

If $N$ has $d$ positive divisors, their product is $N^{\frac{d}{2}}.$ Removing $1$ and $N$ leaves product $N^{\frac{d}{2}-1},$ which equals $N$ exactly when $d=4.$ Thus nice numbers are precisely $p^3$ and $pq$ for distinct primes. The first ten are $6,$ $8,$ $10,$ $14,$ $15,$ $21,$ $22,$ $26,$ $27,$ $33,$ whose sum is $182.$

4.

求曲线 $|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|$ 所围区域的面积。

Find the area of the region enclosed by the graph of $|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|.$

答案

答案：480

知识点：绝对值坐标几何筝形

难度评级：1810

小提示：

解出 $|y|$ ，并确定右边在哪些位置非负

Solve for $|y|$ and determine where its right-hand side is nonnegative

大提示：

边界是一个风筝形，其顶点出现在各绝对值表达式的分段点处

The boundary is a kite whose vertices occur at the breakpoints of the absolute values

解答：

必须有 $|y|=\frac{|x|}{4}-|x-60|\geq0$ 。因而 $48\leq x\leq80$ 。在 $x=48$ 、 $x=60$ 、 $x=80$ 处，边界上的纵坐标依次为 $y=0$ 、 $y=\pm15$ 、 $y=0$ 。因此该区域是一个风筝形，两条互相垂直的对角线长分别为 $80-48=32$ 和 $30$ ，所以面积为 $\frac12(32)(30)=480$ 。

We need $|y|=\frac{|x|}{4}-|x-60|\geq0.$ This forces $48\leq x\leq80.$ At $x=48,$ $x=60,$ $x=80,$ the boundary values are respectively $y=0,$ $y=\pm15,$ $y=0.$ Hence the region is a kite with perpendicular diagonals $80-48=32$ and $30,$ so its area is $\frac12(32)(30)=480.$

5.

若整数 $x$ 和 $y$ 满足 $y^2+3x^2y^2=30x^2+517$ ，求 $3x^2y^2$ 。

Find $3x^2y^2$ if $x$ and $y$ are integers such that $y^2+3x^2y^2=30x^2+517.$

答案

答案：588

知识点：因式分解丢番图方程整除性

难度评级：2070

小提示：

移项一个适当的 $3x^2+1$ 的倍数，以构造乘积

Move a suitable multiple of $3x^2+1$ to create a product

大提示：

分解 $507$ ，并利用 $3x^2+1\equiv1\pmod3$

Factor $507$ and use that $3x^2+1\equiv1\pmod3$

解答：

整理得 $(3x^2+1)(y^2-10)=507$ ，其中 $507=3\cdot13^2$ 。 $507$ 的正因数中，与 $1\pmod3$ 同余的有 $1$ 、 $13$ 、 $169$ 。若 $3x^2+1=1$ ，则 $x^2=0$ ，但 $y^2=517$ ，不是完全平方数。若 $3x^2+1=13$ ，则 $x^2=4$ 且 $y^2=49$ 。最后， $3x^2+1=169$ 给出 $x^2=56$ ，不是完全平方数。因此 $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588$ 。

Rearranging gives $(3x^2+1)(y^2-10)=507,$ where $507=3\cdot13^2.$ The positive divisors of $507$ congruent to $1\pmod3$ are $1,$ $13,$ $169.$ If $3x^2+1=1,$ then $x^2=0$ but $y^2=517,$ which is not a square. If $3x^2+1=13,$ then $x^2=4$ and $y^2=49.$ Finally, $3x^2+1=169$ gives $x^2=56,$ not a square. Therefore $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588.$

6.

如图，五条线段将矩形 $ABCD$ 分成四个面积相等的部分，其中 $XY=YB+BC+CZ$ 、 $YB+BC+CZ=ZW$ 、 $ZW=WD+DA+AX$ ，且 $PQ\parallel AB$ 。若 $BC=19$ 厘米， $PQ=87$ 厘米，求 $AB$ 的长度（单位：厘米）。

Rectangle $ABCD$ is divided into four parts of equal area by five segments as shown, where $XY=YB+BC+CZ,$ $YB+BC+CZ=ZW,$ $ZW=WD+DA+AX,$ and $PQ\parallel AB.$ Find $AB$ (in cm) if $BC=19$ cm and $PQ=87$ cm.

答案

答案：193

知识点：矩形方程组梯形

难度评级：2270

小提示：

将相等的边界长度记为 $t$ ，矩形的宽记为 $L$

Call the common boundary length $t$ and the rectangle width $L$

大提示：

$PQ$ 上下两个区域面积相等，说明 $PQ$ 位于矩形高度的中点

Equal areas above and below $PQ$ place $PQ$ halfway up the rectangle

解答：

令 $AB=L$ ，并将四个相等的边界长度记为 $t$ 。再令 $AX=x$ 、 $DW=w$ ，左侧边界条件给出 $x+w=t-19$ 。将 $XY=ZW=t$ 代入右侧条件，得到 $2L+38=4t$ ，所以 $t=\frac{L+19}{2}$ 。

上、下两个中央区域都是以 $t$ 和 $87$ 为两底的梯形。因为它们面积相等，所以 $PQ$ 位于高为 $19$ 厘米的矩形的中间。每个中央区域的面积因此为 $\frac{19(t+87)}{4}$ 。这等于矩形面积的四分之一，即 $\frac{19L}{4}$ ，所以 $t+87=L$ 。联立 $t=\frac{L+19}{2}$ ，得 $L=193$ 。

Put $AB=L$ and let the four equal boundary lengths be $t.$ Writing $AX=x$ and $DW=w,$ the left boundary condition gives $x+w=t-19.$ Substituting $XY=ZW=t$ into the right condition gives $2L+38=4t,$ so $t=\frac{L+19}{2}.$

The upper and lower central regions are trapezoids with the same bases $t$ and $87.$ Since their areas are equal, $PQ$ lies halfway up the $19$ -cm rectangle. Each central region therefore has area $\frac{19(t+87)}{4}.$ This is one quarter of the rectangle, $\frac{19L}{4},$ so $t+87=L.$ Combining with $t=\frac{L+19}{2}$ yields $L=193.$

7.

以 $[r,s]$ 表示正整数 $r$ 、 $s$ 的最小公倍数。求满足 $[a,b]=1000$ 、 $[b,c]=2000$ ，且 $[c,a]=2000$ 的有序三元组 $(a,b,c)$ 的个数。

Let $[r,s]$ denote the least common multiple of positive integers $r,$ $s.$ Find the number of ordered triples $(a,b,c)$ for which $[a,b]=1000,$ $[b,c]=2000,$ and $[c,a]=2000.$

答案

答案：70

知识点：最小公倍数质因数分解乘法原理

难度评级：2230

小提示：

分别考虑 $2$ 和 $5$ 的指数

Treat the exponents of $2$ and $5$ independently

大提示：

对每个质数，把每个最小公倍数条件转化为两个指数最大值的条件

For each prime, translate every least common multiple into a condition on pairwise maxima

解答：

对于 $5$ 的指数，三个两两最大值都等于 $3$ 。因此至少有两个指数为 $3$ ：三个指数全为 $3$ 有一种，恰有两个指数为 $3$ 有 $3\cdot3$ 种，共 $10$ 种选择。

对于 $2$ 的指数，第一对的最大值为 $3$ ，另外两对的最大值为 $4$ 。 $c$ 的指数必须为 $4$ ，而 $a$ 和 $b$ 的指数属于 $\{0,1,2,3\}$ ，且最大值为 $3$ ，共有 $4^2-3^2=7$ 种选择。两部分相互独立，所以共有 $10\cdot7=70$ 种。

For the exponent of $5,$ all three pairwise maxima equal $3.$ Thus at least two exponents are $3:$ there is one all- $3$ triple and $3\cdot3$ triples with exactly two $3$ ’s, for $10$ choices.

For the exponent of $2,$ the first pair has maximum $3$ while the other two have maximum $4.$ The exponent of $c$ must be $4,$ and the exponents of $a$ and $b$ lie in $\{0,1,2,3\}$ with maximum $3,$ giving $4^2-3^2=7$ choices. Independence gives $10\cdot7=70.$

8.

使得恰有一个整数 $k$ 满足 $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}$ 的最大正整数 $n$ 是多少？

What is the largest positive integer $n$ for which there is a unique integer $k$ such that $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}?$

答案

答案：112

知识点：不等式分数极限情形界定

难度评级：1860

小提示：

分别解出两个关于 $k$ 的不等式

Solve both inequalities for $k$

大提示：

研究开区间 $(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})$ 内的整数

Study the integers in the open interval $(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})$

解答：

这两个不等式等价于 $\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}$ 。该区间的长度为 $\frac{n}{56}$ 。当 $n=112$ 时，区间为 $(96,98)$ ，其中只有整数 $97$ 。当 $n>112$ 时，区间长度大于 $2$ ，所以其中至少有两个整数。因此最大的 $n$ 为 $112$ 。

The inequalities are equivalent to $\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}.$ This interval has length $\frac{n}{56}.$ At $n=112$ it is $(96,98),$ containing only $97.$ For $n>112$ its length exceeds $2,$ so it contains at least two integers. Thus the largest possible $n$ is $112.$

9.

三角形 $ABC$ 在 $B$ 处为直角，内部有一点 $P$ ，满足 $PA=10$ 、 $PB=6$ ，且 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$ 。求 $PC$ 。

Triangle $ABC$ has a right angle at $B$ and contains a point $P$ for which $PA=10,$ $PB=6,$ and $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.$ Find $PC.$

答案

答案：33

知识点：向量直角三角形

难度评级：2380

小提示：

$P$ 周围三个相等的角都为 $120^\circ$

The three equal angles around $P$ are each $120^\circ$

大提示：

使用从 $P$ 出发的向量，并将 $B$ 处的直角转化为点积条件

Use vectors from $P$ and translate the right angle at $B$ into a dot product

解答：

令 $\mathbf a$ 、 $\mathbf b$ 、 $\mathbf c$ 分别为从 $P$ 指向 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的向量，并令 $|\mathbf c|=x$ 。它们两两夹角均为 $120^\circ$ ，所以 $\mathbf a\cdot\mathbf b=-30$ 、 $\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x$ ，且 $\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x$ 。因为 $AB\perp BC$ ，

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0$ 。展开得 $-5x+30+3x+36=0$ ，所以 $x=33$ 。

Let $\mathbf a,$ $\mathbf b,$ and $\mathbf c$ be the vectors from $P$ to $A,$ $B,$ $C,$ and put $|\mathbf c|=x.$ Their pairwise angles are $120^\circ,$ so $\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,$ $\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,$ and $\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.$ Since $AB\perp BC,$

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.$ Expanding gives $-5x+30+3x+36=0,$ so $x=33.$

10.

艾尔沿一部向上运行的自动扶梯向下走，数了 $150$ 级台阶。鲍勃向上走，数了 $75$ 级台阶。若艾尔的步行速度是鲍勃的三倍，那么任一时刻可见的台阶有多少级？假设此数保持不变。

Al walks down an escalator that is moving up and counts $150$ steps. Bob walks up and counts $75$ steps. If Al’s walking speed is three times Bob’s, how many steps are visible at a given time? Assume this is constant.

答案

答案：120

知识点：路程、速度与时间方程组

难度评级：1770

小提示：

令鲍勃的速度为 $b$ ，自动扶梯向上的速度为 $e$ ，可见台阶数为 $N$

Let Bob’s speed be $b,$ the escalator’s upward speed be $e,$ and the visible count be $N$

大提示：

对两人分别把 $N$ 写成净速度与行走时间的乘积

Write $N$ as net speed times travel time for each person

解答：

鲍勃所用的时间为 $\frac{75}{b}$ ，所以 $N=(b+e)(\frac{75}{b})$ ，即 $N=75(1+\frac{e}{b})$ 。艾尔所用的时间为 $\frac{150}{3b}=\frac{50}{b}$ ，所以 $N=(3b-e)(\frac{50}{b})$ ，即 $N=150-\frac{50e}{b}$ 。令两式相等，得到 $\frac{125e}{b}=75$ ，从而 $\frac{e}{b}=\frac{3}{5}$ ，且 $N=75(1+\frac{3}{5})=120$ 。

Bob’s time is $\frac{75}{b},$ so $N=(b+e)(\frac{75}{b}),$ or $N=75(1+\frac{e}{b}).$ Al’s time is $\frac{150}{3b}=\frac{50}{b},$ so $N=(3b-e)(\frac{50}{b}),$ or $N=150-\frac{50e}{b}.$ Equating gives $\frac{125e}{b}=75,$ hence $\frac{e}{b}=\frac{3}{5}$ and $N=75(1+\frac{3}{5})=120.$

11.

使 $3^{11}$ 可以表示为 $k$ 个连续正整数之和的最大 $k$ 是多少？

Find the largest possible $k$ for which $3^{11}$ is expressible as the sum of $k$ consecutive positive integers.

答案

答案：486

知识点：等差数列整除性指数

难度评级：2070

小提示：

将这个和写成 $\frac{k(2a+k-1)}{2}$

Write the sum as $\frac{k(2a+k-1)}{2}$

大提示：

可能的项数只能是 $2\cdot3^{11}$ 的因数；再要求首项为正

The only possible lengths divide $2\cdot3^{11}$ ; then enforce a positive first term

解答：

若首项为 $a$ ，则 $2\cdot3^{11}=k(2a+k-1)$ 。因此 $k$ 的形式为 $3^j$ 或 $2\cdot3^j$ 。可行的最大偶数选择为 $k=2\cdot3^5=486$ ，此时 $2a+k-1=3^6=729$ ，且 $a=122>0$ 。接下来的候选值 $3^6$ 和 $2\cdot3^6$ ，都会使首项非正，所有更大的选择也是如此。因此 $k=486$ 。

If the first term is $a,$ then $2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).$ Thus $k$ is $3^j$ or $2\cdot3^j.$ The largest viable even choice is $k=2\cdot3^5=486,$ for which $2a+k-1=3^6=729$ and $a=122>0.$ The next candidates, $3^6$ and $2\cdot3^6,$ force a nonpositive first term, as do all larger choices. Hence $k=486.$

12.

设 $m$ 是满足其立方根形如 $n+r$ 的最小整数，其中 $n$ 为正整数，且 $0<r<\frac{1}{1000}$ 。求 $n$ 。

Let $m$ be the smallest integer whose cube root has the form $n+r,$ where $n$ is a positive integer and $0<r<\frac{1}{1000}.$ Find $n.$

答案

答案：19

知识点：完全幂估算不等式

难度评级：2110

小提示：

对固定的 $n$ ，最小的可能整数为 $m=n^3+1$

For fixed $n,$ the smallest possible integer is $m=n^3+1$

大提示：

比较 $n^3+1$ 与 $(n+0.001)^3$

Compare $n^3+1$ with $(n+0.001)^3$

解答：

对给定的 $n$ ，使立方根刚好大于 $n$ 的最接近候选整数为 $m=n^3+1$ 。我们需要 $n^3+1<(n+0.001)^3$ ，即 $1<0.003n^2+0.000003n+10^{-9}$ 。当 $n=18$ 时不成立，而当 $n=19$ 时成立。右端在正整数 $n$ 的范围内递增，所以每个更小的 $n$ 都不成立；每个更大的 $n$ 所对应的最小候选整数 $m=n^3+1$ 也更大。因此，最小的 $m$ 在 $n=19$ 时取得。

For a given $n,$ the closest integer cube-root candidate above $n$ is $m=n^3+1.$ We need $n^3+1<(n+0.001)^3,$ or $1<0.003n^2+0.000003n+10^{-9}.$ This fails at $n=18$ and holds at $n=19.$ The right-hand side is increasing for positive $n,$ so every smaller $n$ fails; every larger $n$ has a larger least candidate $m=n^3+1.$ Hence the smallest $m$ occurs with $n=19.$

13.

给定一个由互不相同的实数组成的数列 $r_1$ 、 $r_2$ 、 $\ldots$ 、 $r_n$ ，可以通过一次或多次“冒泡遍历”将其按升序排列。对一个给定数列进行一次冒泡遍历，是先比较第二项与第一项，并且仅当第二项较小时交换两项；接着比较第三项与第二项，并且仅当第三项较小时交换两项；依此顺序进行，直到把最后一项 $r_n$ 与它当时的前一项比较，并且仅当最后一项较小时交换两项。

下面的例子展示数列 $1$ 、 $9$ 、 $8$ 、 $7$ 如何经过一次冒泡遍历变成数列 $1$ 、 $8$ 、 $7$ 、 $9$ 。每一步中被比较的两个数都加有下划线。

$\begin{aligned} \underline{1}\quad\underline{9}\quad8\quad7\\ 1\quad\underline{9}\quad\underline{8}\quad7\\ 1\quad8\quad\underline{9}\quad\underline{7}\\ 1\quad8\quad7\quad9 \end{aligned}$

设 $n=40$ ，初始数列的各项 $r_1$ 、 $r_2$ 、 $\ldots$ 、 $r_{40}$ 互不相同，并以随机顺序排列。经过一次冒泡遍历后，初始时记作 $r_{20}$ 的数最终处在第 $30$ 位的概率为最简分数 $\frac{p}{q}$ 。求 $p+q$ 。

A given sequence $r_1,$ $r_2,$ $\ldots,$ $r_n$ of distinct real numbers can be put in ascending order by means of one or more “bubble passes.” A bubble pass through a given sequence consists of comparing the second term with the first term, and exchanging them if and only if the second term is smaller, then comparing the third term with the second term and exchanging them if and only if the third term is smaller, and so on in order, through comparing the last term, $r_n,$ with its current predecessor and exchanging them if and only if the last term is smaller.

The example below shows how the sequence $1,$ $9,$ $8,$ $7$ is transformed into the sequence $1,$ $8,$ $7,$ $9$ by one bubble pass. The numbers compared at each step are underlined.

$\begin{aligned} \underline{1}\quad\underline{9}\quad8\quad7\\ 1\quad\underline{9}\quad\underline{8}\quad7\\ 1\quad8\quad\underline{9}\quad\underline{7}\\ 1\quad8\quad7\quad9 \end{aligned}$

Suppose that $n=40,$ and that the terms of the initial sequence $r_1,$ $r_2,$ $\ldots,$ $r_{40}$ are distinct from one another and are in random order. Let $\frac{p}{q},$ in lowest terms, be the probability that the number that begins as $r_{20}$ will end up, after one bubble pass, in the $30$ th place. Find $p+q.$

答案

答案：931

知识点：基本概率排列过程模拟

难度评级：2450

小提示：

当比较进行到位置 $j$ 后，该位置上的数是原数列前 $j$ 项的最大值

After the comparison reaching position $j,$ that position holds the maximum of the first $j$ original terms

大提示：

确定 $r_{20}$ 和 $r_{31}$ 在前 $31$ 项中的相对大小排名

Characterize the relative ranks of $r_{20}$ and $r_{31}$ among the first $31$ terms

解答：

要使 $r_{20}$ 一直向右移动到第 $30$ 位，它必须大于 $r_1,\ldots,r_{30}$ 中的其他每一项。它恰好在第 $30$ 位停下的条件是 $r_{31}>r_{20}$ 。因此，在前 $31$ 项中， $r_{31}$ 必须最大， $r_{20}$ 必须为第二大。这两个指定排名同时发生的概率为 $\frac1{31}\cdot\frac1{30}=\frac1{930}$ 。所以 $p+q=1+930=931$ 。

For $r_{20}$ to move right to position $30,$ it must exceed every other term among $r_1,\ldots,r_{30}.$ It stops at position $30$ exactly when $r_{31}>r_{20}.$ Thus among the first $31$ terms, $r_{31}$ must be greatest and $r_{20}$ second greatest. These two ordered rank assignments have probability $\frac1{31}\cdot\frac1{30}=\frac1{930}.$ Therefore $p+q=1+930=931.$

14.

计算 $\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}\text{。}$

Compute $\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}.$

答案

答案：373

知识点：代数变形因式分解裂项相消

难度评级：2380

小提示：

利用 $324=4\cdot3^4$ 和索菲·热尔曼恒等式

Use Sophie Germain’s identity with $324=4\cdot3^4$

大提示：

若 $g(x)=x^2+6x+18$ ，将 $x^4+324$ 改写为 $g(x-6)g(x)$

If $g(x)=x^2+6x+18,$ rewrite $x^4+324$ as $g(x-6)g(x)$

解答：

令 $g(x)=x^2+6x+18$ 。由索菲·热尔曼恒等式， $x^4+324=g(x-6)g(x)$ 。因此分子提供 $g(4),g(10),\ldots,g(58)$ ，而分母提供 $g(-2),g(4),\ldots,g(52)$ 。除了下式外，其余各项全部约去： $\begin{aligned}\frac{g(58)}{g(-2)}&=\frac{58^2+6(58)+18}{4-12+18}\\&=\frac{3730}{10}=373\end{aligned}\text{。}$

Let $g(x)=x^2+6x+18.$ Sophie Germain’s identity gives $x^4+324=g(x-6)g(x).$ The numerator therefore supplies $g(4),g(10),\ldots,g(58),$ while the denominator supplies $g(-2),g(4),\ldots,g(52).$ Everything cancels except $\begin{aligned}\frac{g(58)}{g(-2)}&=\frac{58^2+6(58)+18}{4-12+18}\\&=\frac{3730}{10}=373.\end{aligned}$

15.

如图，正方形 $S_1$ 、 $S_2$ 内接于直角三角形 $ABC$ 。若 $\operatorname{area}(S_1)=441$ ，且 $\operatorname{area}(S_2)=440$ ，求 $AC+CB$ 。

Squares $S_1,$ $S_2$ are inscribed in right triangle $ABC$ as shown. Find $AC+CB$ if $\operatorname{area}(S_1)=441$ and $\operatorname{area}(S_2)=440.$

答案

答案：462

知识点：直角三角形相似正方形（几何）

难度评级：2450

小提示：

设两条直角边长为 $a$ 和 $b$ ，并利用第一个正方形建立 $ab$ 与 $a+b$ 的关系

Let the legs be $a$ and $b$ and use the first square to relate $ab$ to $a+b$

大提示：

对第二个正方形，利用斜边上的高以及相似截面的长度关系

For the second square, use the altitude to the hypotenuse and similar cross-sections

解答：

令 $p=a+b$ 、 $q=ab$ ，并将斜边长记为 $c$ 。因为 $S_1$ 的边长为 $21$ ，由直角边方向内接正方形的标准关系可得 $21=\frac{ab}{a+b}$ ，所以 $q=21p$ 。因而 $c^2=p^2-2q=p(p-42)$ 。

斜边上的高为 $h=\frac{q}{c}$ 。若 $S_2$ 的边长为 $t$ ，由相似关系可得 $t=\frac{ch}{c+h}$ 。代入并化简为 $t=\frac{21c}{p-21}$ 。因此 $440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}\text{。}$ 由于 $p(p-42)=(p-21)^2-441$ ，上式化为 $440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right)\text{。}$ 所以 $(p-21)^2=441^2$ ，又因为 $p>42$ ，得到 $p=462$ 。

Put $p=a+b,$ $q=ab,$ and let the hypotenuse be $c.$ Since $S_1$ has side $21,$ the standard leg-aligned-square relation gives $21=\frac{ab}{a+b},$ so $q=21p.$ Hence $c^2=p^2-2q=p(p-42).$

The altitude to the hypotenuse is $h=\frac{q}{c}.$ If the side of $S_2$ is $t,$ similarity gives $t=\frac{ch}{c+h}.$ Substitution simplifies this to $t=\frac{21c}{p-21}.$ Therefore $440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}.$ Since $p(p-42)=(p-21)^2-441,$ this becomes $440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right).$ Thus $(p-21)^2=441^2,$ and $p>42$ gives $p=462.$