Question

如图，正方形 $S_1$ 、 $S_2$ 内接于直角三角形 $ABC$ 。若 $\operatorname{area}(S_1)=441$ ，且 $\operatorname{area}(S_2)=440$ ，求 $AC+CB$ 。

Squares $S_1,$ $S_2$ are inscribed in right triangle $ABC$ as shown. Find $AC+CB$ if $\operatorname{area}(S_1)=441$ and $\operatorname{area}(S_2)=440.$

答案

答案：462

知识点：直角三角形相似正方形（几何）

难度评级：2450

小提示：

设两条直角边长为 $a$ 和 $b$ ，并利用第一个正方形建立 $ab$ 与 $a+b$ 的关系

Let the legs be $a$ and $b$ and use the first square to relate $ab$ to $a+b$

大提示：

对第二个正方形，利用斜边上的高以及相似截面的长度关系

For the second square, use the altitude to the hypotenuse and similar cross-sections

解答：

令 $p=a+b$ 、 $q=ab$ ，并将斜边长记为 $c$ 。因为 $S_1$ 的边长为 $21$ ，由直角边方向内接正方形的标准关系可得 $21=\frac{ab}{a+b}$ ，所以 $q=21p$ 。因而 $c^2=p^2-2q=p(p-42)$ 。

斜边上的高为 $h=\frac{q}{c}$ 。若 $S_2$ 的边长为 $t$ ，由相似关系可得 $t=\frac{ch}{c+h}$ 。代入并化简为 $t=\frac{21c}{p-21}$ 。因此 $440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}\text{。}$ 由于 $p(p-42)=(p-21)^2-441$ ，上式化为 $440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right)\text{。}$ 所以 $(p-21)^2=441^2$ ，又因为 $p>42$ ，得到 $p=462$ 。

Put $p=a+b,$ $q=ab,$ and let the hypotenuse be $c.$ Since $S_1$ has side $21,$ the standard leg-aligned-square relation gives $21=\frac{ab}{a+b},$ so $q=21p.$ Hence $c^2=p^2-2q=p(p-42).$

The altitude to the hypotenuse is $h=\frac{q}{c}.$ If the side of $S_2$ is $t,$ similarity gives $t=\frac{ch}{c+h}.$ Substitution simplifies this to $t=\frac{21c}{p-21}.$ Therefore $440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}.$ Since $p(p-42)=(p-21)^2-441,$ this becomes $440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right).$ Thus $(p-21)^2=441^2,$ and $p>42$ gives $p=462.$

1987 AIME 第 15 题

答案：462

难度评级：2450

小提示：

大提示：

解答：

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