Question

求最大的素数 $p \lt 1000$ ，使得存在一个复数 $z$ 满足

• $z$ 的实部和虚部都是整数；

• $|z| = \sqrt{p}$ ，并且

• 存在一个三角形，它的三条边长分别为 $p$ 、 $z^3$ 的实部、以及 $z^3$ 的虚部。

Find the largest prime number $p \lt 1000$ for which there exists a complex number $z$ satisfying

• the real and imaginary part of $z$ are both integers;

• $|z| = \sqrt{p},$ and

• there exists a triangle whose three side lengths are $p,$ the real part of $z^3,$ and the imaginary part of $z^3.$

答案

答案：349

知识点：复数质数三角不等式因式分解

难度评级：3370

小提示：

写 $z = a + bi$ ，其中 $a^2 + b^2 = p$ ；在改变符号和交换顺序后，三角形需要 $\bigl||\operatorname{Re} z^3| - |\operatorname{Im} z^3|\bigr| \lt p$ 。

Write $z = a + bi$ with $a^2 + b^2 = p;$ up to signs and swapping, the triangle needs $\bigl||\operatorname{Re} z^3| - |\operatorname{Im} z^3|\bigr| \lt p.$

大提示：

$\operatorname{Re} z^3 - \operatorname{Im} z^3$ $= (a + b)(a^2 + b^2 - 4ab)$ ，所以 $4ab$ 必须在 $p$ 的 $\sqrt{p}$ 范围内。

$\operatorname{Re} z^3 - \operatorname{Im} z^3$ $= (a + b)(a^2 + b^2 - 4ab),$ so $4ab$ must be within $\sqrt{p}$ of $p.$

解答：

写 $z = a + bi$ ，其中 $a^2 + b^2 = p$ 。素数 $p = 2$ 确实可行：取 $z = -1 + i$ ，就有 $z^3 = 2 + 2i$ ，但它不可能是最大答案。因此只需考虑奇素数 $p$ ，此时 $p \equiv 1 \pmod 4$ ，而数对 $\{|a|, |b|\}$ 唯一确定。把 $z$ 替换为 $\pm z$ 、 $\pm\bar{z}$ 、 $\pm iz$ 或 $\pm i\bar{z}$ ，只会改变 $z^3$ 实部与虚部的符号或交换两者，所以可设 $a \gt b \gt 0$ 。两个候选边长是 $|\operatorname{Re} z^3|$ 和 $|\operatorname{Im} z^3|$ 。展开 $z^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i$ 并因式分解，得 $\begin{aligned} &\operatorname{Re} z^3 + \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a - b)(p + 4ab), \qquad \\ &\operatorname{Re} z^3 - \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a + b)(p - 4ab) \end{aligned}\text{。}$ 当且仅当 $\bigl||\operatorname{Re}| - |\operatorname{Im}|\bigr| \lt p$ $\lt |\operatorname{Re}| + |\operatorname{Im}|$ 时，这三个长度能构成三角形；后两个量与上面两个表达式的绝对值一一对应。因为 $a \gt b$ 导致 $(a - b)(p + 4ab) \gt p$ ，所以全部条件等价于 $(a + b)\,|p - 4ab| \lt p$ 。

因为 $a+b\gt\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt p$ ，所以必须有 $\Delta=|p-4ab|\lt\sqrt p$ 。由 $p=a^2+b^2\lt1000$ 得 $1\le b\lt a\le31$ ；而且 $b \le 21$ ，因为 $b \ge 22$ 会迫使 $a \ge 23$ ，从而 $p \ge 22^2 + 23^2 \gt 1000$ 。把 $p=a^2+b^2$ 代入 $(a^2+b^2-4ab)^2\lt a^2+b^2$ 并检查这些有限范围内的整数，可得可能值的完整列表 $\begin{aligned} p \in \{&10,17,53,68,130,153, \\ &212,241,272,349,386,520, \\ &565,725,778,905,964\} \end{aligned}\text{。}$ 其中只有四个值是素数，对应于 $\begin{aligned} (a,b,p,\Delta)&=(4,1,17,1), \\ &\quad (7,2,53,3), \\ &\quad (15,4,241,1), \\ &\quad (18,5,349,11) \end{aligned}\text{。}$ 相应的 $(a+b)\Delta$ 依次是 $5,27,19,253$ ，都小于 $p$ ，所以这四个值也都满足完整的三角形不等式。因此最大的可能素数是 $349$ 。

确实，取 $z = 18 + 5i$ ，得 $z^3 = 4482 + 4735i$ ，而 $349$ 、 $4482$ 、 $4735$ 能构成一个三角形。答案是 $349$ 。

Write $z = a + bi$ with $a^2 + b^2 = p.$ The prime $p = 2$ does qualify: for $z = -1 + i$ we have $z^3 = 2 + 2i,$ but it cannot be the largest answer. Hence consider an odd prime $p,$ so $p \equiv 1 \pmod 4$ and the pair $\{|a|, |b|\}$ is unique. Replacing $z$ by $\pm z,$ $\pm\bar{z},$ $\pm iz,$ $\pm i\bar{z}$ only changes the real and imaginary parts of $z^3$ by signs and swaps, so we may take $a \gt b \gt 0,$ and the two candidate side lengths are $|\operatorname{Re} z^3|$ and $|\operatorname{Im} z^3|.$ Expanding $z^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i$ and factoring, $\begin{aligned} &\operatorname{Re} z^3 + \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a - b)(p + 4ab), \qquad \\ &\operatorname{Re} z^3 - \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a + b)(p - 4ab). \end{aligned}$ The triangle exists exactly when $\bigl||\operatorname{Re}| - |\operatorname{Im}|\bigr| \lt p$ $\lt |\operatorname{Re}| + |\operatorname{Im}|,$ and those two quantities are, in some order, the absolute values above. Since $a \gt b$ forces $(a - b)(p + 4ab) \gt p,$ the whole condition reduces to $(a + b)\,|p - 4ab| \lt p.$

Because $a+b\gt\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt p,$ this requires $\Delta=|p-4ab|\lt\sqrt p.$ The bound $p=a^2+b^2\lt1000$ gives $1\le b\lt a\le31;$ moreover $b \le 21,$ because $b \ge 22$ would force $a \ge 23$ and $p \ge 22^2 + 23^2 \gt 1000.$ Substituting $p=a^2+b^2$ into $(a^2+b^2-4ab)^2\lt a^2+b^2$ and checking these bounded integers gives the complete list of possible values $\begin{aligned} p \in \{&10,17,53,68,130,153, \\ &212,241,272,349,386,520, \\ &565,725,778,905,964\}. \end{aligned}$ Only four values in this list are prime, at $\begin{aligned} (a,b,p,\Delta)&=(4,1,17,1), \\ &\quad (7,2,53,3), \\ &\quad (15,4,241,1), \\ &\quad (18,5,349,11). \end{aligned}$ The corresponding values of $(a+b)\Delta$ are $5,27,19,253,$ respectively, all below $p,$ so all four also pass the full triangle inequality. Thus the largest possible prime is $349.$

Indeed for $z = 18 + 5i$ we get $z^3 = 4482 + 4735i,$ and the lengths $349,$ $4482,$ $4735$ form a valid triangle. The answer is $349.$

2023 AIME I 第 15 题

答案：349

难度评级：3370

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