Question

设 $\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right) \end{aligned}\text{。}$ 设 $z_1$ 、 $z_2$ 、 $\ldots$ 、 $z_r$ 为 $P(x)$ 的不同零点，并对 $k = 1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $r$ ，令 $z_k^2 = a_k + b_k i$ ，其中 $i = \sqrt{-1}$ ，且 $a_k$ 和 $b_k$ 为实数。若 $\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p}\text{，}$ 其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 是整数，且 $p$ 不被任何质数的平方整除，求 $m + n + p$ 。

Let $\begin{aligned} &P(x) = 24x^{24} \\ &\quad {}+ \sum_{j=1}^{23} (24 - j)\left(x^{24-j} + x^{24+j}\right). \end{aligned}$ Let $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_r$ be the distinct zeros of $P(x),$ and let $z_k^2 = a_k + b_k i$ for $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $r,$ where $i = \sqrt{-1},$ and $a_k$ and $b_k$ are real numbers. Let $\sum_{k=1}^{r} |b_k| = m + n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

答案

答案：15

知识点：单位根裂项相消棣莫弗定理

难度评级：3160

小提示：

乘以 $1 - x$ ：系数会裂项相消，留下 $(x + x^2 + \cdots + x^{24})(1 - x^{24})$

Multiply by $1 - x:$ the coefficients telescope, leaving $(x + x^2 + \cdots + x^{24})(1 - x^{24})$

大提示：

不同零点是 $0$ 和除 $1$ 外的 $24$ 次单位根，因此每个平方为 $\cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ$ ，且 $|b_k| = |\sin 30k^\circ|$

The distinct zeros are $0$ and the $24$ th roots of unity other than $1,$ so each square is $\cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ$ and $|b_k| = |\sin 30k^\circ|$

解答：

$P(x)$ 中 $x^k$ 的系数在 $1 \le k \le 47$ 时为 $24 - |24 - k|$ ；到 $x^{24}$ 为止，相邻系数之差为 $+1$ ，之后为 $-1$ 。因此乘以 $1 - x$ 会裂项相消： $\begin{aligned} &(1 - x)P(x) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}- (x^{25} + \cdots + x^{48}) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}\cdot (1 - x^{24}) \end{aligned}\text{，}$ 所以当 $x \ne 1$ 时， $P(x) = x\left(\frac{x^{24} - 1}{x - 1}\right)^2\text{。}$

因此 $P$ 的不同零点为 $0$ 以及除 $1$ 外的 $24$ 次单位根： $z_k = \cos 15k^\circ + i \sin 15k^\circ$ ，其中 $k = 1, \ldots, 23$ 。零点 $0$ 没有贡献，且 $z_k^2 = \cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ$ ，所以 $|b_k| = |\sin 30k^\circ|$ 。

当 $k$ 从 $1$ 到 $12$ 时， $|\sin 30k^\circ|$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 、 $1$ 、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $0$ ，如此重复两次，和为 $4 + 2\sqrt{3}$ ； $k = 13, \ldots, 23$ 的项重复 $k = 1, \ldots, 11$ 的项，再增加 $4 + 2\sqrt{3}$ 。总和为 $8 + 4\sqrt{3}$ ，所以 $m + n + p = 8 + 4 + 3 = 15$ 。

The coefficient of $x^k$ in $P(x)$ is $24 - |24 - k|$ for $1 \le k \le 47,$ and consecutive coefficients differ by $+1$ up through $x^{24}$ and by $-1$ afterwards. Multiplying by $1 - x$ therefore telescopes: $\begin{aligned} &(1 - x)P(x) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}- (x^{25} + \cdots + x^{48}) \\ &= (x + x^2 + \cdots + x^{24}) \\ &\quad {}\cdot (1 - x^{24}), \end{aligned}$ so for $x \ne 1,$ $P(x) = x\left(\frac{x^{24} - 1}{x - 1}\right)^2.$

The distinct zeros of $P$ are therefore $0$ together with the $24$ th roots of unity other than $1:$ $z_k = \cos 15k^\circ + i \sin 15k^\circ$ for $k = 1, \ldots, 23.$ The zero $0$ contributes nothing, and $z_k^2 = \cos 30k^\circ + i \sin 30k^\circ,$ so $|b_k| = |\sin 30k^\circ|.$

As $k$ runs from $1$ to $12,$ the values $|\sin 30k^\circ|$ are $\frac{1}{2},$ $\frac{\sqrt{3}}{2},$ $1,$ $\frac{\sqrt{3}}{2},$ $\frac{1}{2},$ $0$ repeated twice, summing to $4 + 2\sqrt{3};$ the terms for $k = 13, \ldots, 23$ repeat those for $k = 1, \ldots, 11$ and add another $4 + 2\sqrt{3}.$ The total is $8 + 4\sqrt{3},$ so $m + n + p = 8 + 4 + 3 = 15.$

2003 AIME II 第 15 题

答案：15

难度评级：3160

小提示：

大提示：

解答：

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