Question

如图，在边长分别为 $2\sqrt{3}$ 、 $5$ 和 $\sqrt{37}$ 的直角三角形中，考虑三个顶点分别落在三条边上的等边三角形。面积最小的一个为 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 和 $p$ 是正整数， $m$ 与 $n$ 互质，且 $p$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n + p$ 。

The area of the smallest equilateral triangle with one vertex on each of the sides of the right triangle with side lengths $2\sqrt{3},$ $5,$ and $\sqrt{37},$ as shown, is $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

答案

答案：145

知识点：等边三角形坐标几何三角恒等式最优化

难度评级：3370

小提示：

将两条直角边放在坐标轴上，并让两条直角边之间的等边三角形边从 $(s\cos\theta, 0)$ 到 $(0, s\sin\theta)$

Put the legs on the axes and let the side between the legs run from $(s\cos\theta, 0)$ to $(0, s\sin\theta)$

大提示：

要求第三个顶点落在斜边上，会得到 $s\,(7\sqrt{3}\cos\theta + 11\sin\theta) = 20\sqrt{3}$ ；用 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 最大化括号中的线性组合

Requiring the third vertex to lie on the hypotenuse gives $s\,(7\sqrt{3}\cos\theta + 11\sin\theta) = 20\sqrt{3};$ maximize the left combination using $\sqrt{a^2 + b^2}$

解答：

将直角顶点放在原点 $(0, 0)$ ，另外两个顶点为 $(5, 0)$ 和 $(0, 2\sqrt{3})$ ，则斜边所在直线为 $2\sqrt{3}\,x + 5y = 10\sqrt{3}$ 。设等边三角形位于两条直角边上的那条边的端点为 $(s\cos\theta, 0)$ 和 $(0, s\sin\theta)$ ，其中 $s$ 是边长。它的中点为 $\frac{s}{2}(\cos\theta, \sin\theta)$ ，沿着垂直于这条边的方向移动 $\frac{\sqrt{3}}{2}s$ 后，第三个顶点为 $\frac{s}{2}$ $\cdot\small\left(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta,\ \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta\right)$ 。

将这个顶点代入斜边方程并化简，得到 $s = \frac{20\sqrt{3}}{7\sqrt{3}\cos\theta + 11\sin\theta}\text{。}$ 分母最大为 $\sqrt{(7\sqrt{3})^2 + 11^2}$ $= \sqrt{268} = 2\sqrt{67}$ ，并且可由某个可行的 $\theta$ 取得，所以最小边长满足 $s^2 = \frac{(10\sqrt{3})^2}{67} = \frac{300}{67}$ 。

最小面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{300}{67} = \frac{75\sqrt{3}}{67}$ ，所以 $m + n + p = 75 + 67 + 3 = 145$ 。

Place the right angle at the origin with vertices $(0, 0),$ $(5, 0),$ and $(0, 2\sqrt{3}),$ so the hypotenuse lies on the line $2\sqrt{3}\,x + 5y = 10\sqrt{3}.$ Let the equilateral triangle’s side between the two legs have endpoints $(s\cos\theta, 0)$ and $(0, s\sin\theta),$ where $s$ is the side length. Its midpoint is $\frac{s}{2}(\cos\theta, \sin\theta),$ and moving a distance $\frac{\sqrt{3}}{2}s$ perpendicular to the side places the third vertex at $\frac{s}{2}$ $\cdot\small\left(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta,\ \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta\right).$

Substituting this vertex into the hypotenuse equation and simplifying gives $s = \frac{20\sqrt{3}}{7\sqrt{3}\cos\theta + 11\sin\theta}.$ The denominator is at most $\sqrt{(7\sqrt{3})^2 + 11^2}$ $= \sqrt{268} = 2\sqrt{67},$ attained for an admissible $\theta,$ so the minimum side length satisfies $s^2 = \frac{(10\sqrt{3})^2}{67} = \frac{300}{67}.$

The minimum area is $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{300}{67} = \frac{75\sqrt{3}}{67},$ so $m + n + p = 75 + 67 + 3 = 145.$

2017 AIME I 第 15 题

答案：145

难度评级：3370

小提示：

大提示：

解答：

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