Question

设 $ABC$ 为等边三角形，点 $D$ 和 $F$ 分别在边 $BC$ 和 $AB$ 上，且 $FA = 5$ ， $CD = 2$ 。点 $E$ 在边 $CA$ 上，使得 $\angle DEF = 60^\circ$ 。三角形 $DEF$ 的面积为 $14\sqrt{3}$ 。边长 $AB$ 的两个可能值为 $p \pm q\sqrt{r}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为有理数， $r$ 是不被任何质数平方整除的整数。求 $r$ 。

Let $ABC$ be an equilateral triangle, and let $D$ and $F$ be points on sides $BC$ and $AB,$ respectively, with $FA = 5$ and $CD = 2.$ Point $E$ lies on side $CA$ such that $\angle DEF = 60^\circ.$ The area of triangle $DEF$ is $14\sqrt{3}.$ The two possible values of the length of side $AB$ are $p \pm q\sqrt{r},$ where $p$ and $q$ are rational, and $r$ is an integer not divisible by the square of a prime. Find $r.$

答案

答案：989

知识点：等边三角形相似三角形面积二次方程

难度评级：3370

小提示：

令 $AB = s$ 且 $AE = t$ ，从 $[ABC]$ 中减去三个角上的三角形，可得 $5(s-t) + 2t = 66$

Let $AB = s$ and $AE = t,$ and subtract the three corner triangles from $[ABC]$ to get $5(s-t) + 2t = 66$

大提示：

$\angle DEF = 60^\circ$ 强制 $\triangle AEF \sim \triangle CDE$ ，所以 $t(s - t) = 10$

$\angle DEF = 60^\circ$ forces $\triangle AEF \sim \triangle CDE,$ so $t(s - t) = 10$

解答：

令 $s = AB$ 且 $t = AE$ 。利用 $60^\circ$ 角（分别位于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ）以及面积公式 $\frac{1}{2}xy\sin 60^\circ$ ：有 $[AEF] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5t$ ， $[BFD] = \frac{\sqrt{3}}{4}(s-5)(s-2)$ ，且 $[CDE] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2(s-t)$ 。从 $[ABC] = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ 中减去这三个面积并化简， $\begin{aligned} [DEF] &= \frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(5(s - t) + 2t - 10\bigr) \\ &= 14\sqrt{3} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $5(s - t) + 2t = 66$ 。

在 $E$ 处，角 $\angle AEF$ 和 $\angle CED$ 之和为 $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ ，而在三角形 $AEF$ 中，角 $\angle AEF$ 和 $\angle AFE$ 之和也为 $120^\circ$ 。因此 $\angle AFE = \angle CED$ ，又因为 $\angle A = \angle C = 60^\circ$ ，三角形 $AEF$ 与 $CDE$ 相似。于是 $\frac{AE}{AF} = \frac{CD}{CE}$ 给出 $\frac{t}{5} = \frac{2}{s - t}$ ，所以 $t(s - t) = 10$ 。

将 $s - t = \frac{10}{t}$ 代入 $5(s - t) + 2t = 66$ ，得到 $\frac{50}{t} + 2t = 66$ ，即 $t^2 - 33t + 25 = 0$ ，所以 $t = \frac{33 \pm \sqrt{989}}{2}$ 。由 $\frac{25}{t} = 33 - t$ 可得 $\frac{10}{t} = \frac{2}{5}(33 - t)$ ，因此 $s = t + \frac{10}{t} = \frac{3t + 66}{5} = \frac{231 \pm 3\sqrt{989}}{10}$ 。两个值都给出有效构型，所以 $r = 989$ 。

Let $s = AB$ and $t = AE.$ Using the $60^\circ$ angles at $A,$ $B,$ $C$ and the area formula $\frac{1}{2}xy\sin 60^\circ:$ $[AEF] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5t,$ $[BFD] = \frac{\sqrt{3}}{4}(s-5)(s-2),$ and $[CDE] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2(s-t).$ Subtracting all three from $[ABC] = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ and simplifying, $\begin{aligned} [DEF] &= \frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(5(s - t) + 2t - 10\bigr) \\ &= 14\sqrt{3}, \end{aligned}$ so $5(s - t) + 2t = 66.$

At $E,$ the angles $\angle AEF$ and $\angle CED$ sum to $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ,$ while in triangle $AEF$ the angles $\angle AEF$ and $\angle AFE$ also sum to $120^\circ.$ Hence $\angle AFE = \angle CED,$ and since $\angle A = \angle C = 60^\circ,$ triangles $AEF$ and $CDE$ are similar. Then $\frac{AE}{AF} = \frac{CD}{CE}$ gives $\frac{t}{5} = \frac{2}{s - t},$ so $t(s - t) = 10.$

Substituting $s - t = \frac{10}{t}$ into $5(s - t) + 2t = 66$ gives $\frac{50}{t} + 2t = 66,$ or $t^2 - 33t + 25 = 0,$ so $t = \frac{33 \pm \sqrt{989}}{2}.$ From $\frac{25}{t} = 33 - t$ we get $\frac{10}{t} = \frac{2}{5}(33 - t),$ so $s = t + \frac{10}{t} = \frac{3t + 66}{5} = \frac{231 \pm 3\sqrt{989}}{10}.$ Both values yield valid configurations, so $r = 989.$

2007 AIME I 第 15 题

答案：989

难度评级：3370

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