Question

对某个整数 $m$ ，多项式 $x^3 - 2011x + m$ 有三个整数根 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 。求 $|a| + |b| + |c|$ 。

For some integer $m,$ the polynomial $x^3 - 2011x + m$ has the three integer roots $a,$ $b,$ and $c.$ Find $|a| + |b| + |c|.$

答案

答案：98

知识点：韦达定理丢番图方程完全平方数

难度评级：3270

小提示：

韦达定理给出 $a + b + c = 0$ 和 $ab + bc + ca = -2011$ ；消去 $c$ 可得 $a^2 + ab + b^2 = 2011$

Vieta gives $a + b + c = 0$ and $ab + bc + ca = -2011;$ eliminate $c$ to get $a^2 + ab + b^2 = 2011$

大提示：

乘以 $4$ ： $(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044$ 。如果 $b$ 是较小的非负根，则 $3b^2 \le 2011$ ；检查哪些 $b$ 会让 $8044 - 3b^2$ 成为完全平方数。

Multiply by $4:$ $(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.$ If $b$ is the smaller nonnegative root, then $3b^2 \le 2011;$ test which $b$ makes $8044 - 3b^2$ a perfect square.

解答：

由韦达定理， $a + b + c = 0$ ，且 $ab + bc + ca = -2011$ 。把三个根全取相反数会把 $m$ 换成 $-m$ ，所以不妨假设两个根（记作 $a \ge b$ ）是非负的。将 $c = -(a + b)$ 代入第二个方程，得到 $ab - (a + b)^2 = -2011$ ，也就是 $a^2 + ab + b^2 = 2011\text{。}$

乘以 $4$ 并配方，得 $(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044$ 。因为 $a \ge b \ge 0$ ，有 $3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011$ ，所以 $0 \le b \le 25$ 。检查这些值，只有当 $b = 10$ 时， $8044 - 3b^2$ 是完全平方数，此时 $8044 - 300 = 7744 = 88^2$ 。

于是 $2a + b = 88$ ，得到 $a = 39$ ，且 $c = -(a + b) = -49$ 。（确实有 $39 \cdot 10 - 49^2 = -2011$ 。）因此 $|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49$ $= 98$ 。

By Vieta’s formulas, $a + b + c = 0$ and $ab + bc + ca = -2011.$ Negating all three roots replaces $m$ by $-m,$ so we may assume two roots, say $a \ge b,$ are nonnegative. Substituting $c = -(a + b)$ into the second equation gives $ab - (a + b)^2 = -2011,$ that is, $a^2 + ab + b^2 = 2011.$

Multiplying by $4$ and completing the square, $(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.$ Since $a \ge b \ge 0,$ we have $3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011,$ so $0 \le b \le 25.$ Checking these values, $8044 - 3b^2$ is a perfect square only for $b = 10,$ where $8044 - 300 = 7744 = 88^2.$

Then $2a + b = 88$ gives $a = 39,$ and $c = -(a + b) = -49.$ (Indeed $39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.$ ) Therefore $|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49$ $= 98.$

2011 AIME I 第 15 题

答案：98

难度评级：3270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题