Question

给定一点 $P$ ，它位于三角形纸片 $ABC$ 上。考虑把 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 分别折到 $P$ 上时形成的折痕。若这些折痕互不相交，就称 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的折叠点；除非 $P$ 是某个顶点，否则共有三条折痕。已知 $AB=36$ 、 $AC=72$ ，且 $\angle B=90^\circ$ 。那么， $\triangle ABC$ 的所有折叠点所成区域的面积可写成 $q\pi-r\sqrt s$ ，其中 $q$ 、 $r$ 和 $s$ 是正整数，并且 $s$ 不被任何素数的平方整除。求 $q+r+s$ 。

Given a point $P$ on a triangular piece of paper $ABC,$ consider the creases that are formed in the paper when $A,$ $B,$ and $C$ are folded onto $P.$ Let us call $P$ a fold point of $\triangle ABC$ if these creases, which number three unless $P$ is one of the vertices, do not intersect. Suppose that $AB=36,$ $AC=72,$ and $\angle B=90^\circ.$ Then the area of the set of all fold points of $\triangle ABC$ can be written in the form $q\pi-r\sqrt s,$ where $q,$ $r,$ and $s$ are positive integers and $s$ is not divisible by the square of any prime. What is $q+r+s?$

答案

答案：597

知识点：折纸垂直平分线面积分割

难度评级：2840

小提示：

两条折痕相交于由 $P$ 和对应两个顶点组成的三角形的外心

Two fold creases meet at the circumcenter of the triangle formed by $P$ and the corresponding two vertices

大提示：

折叠点轨迹是以 $AB$ 和 $BC$ 为直径的两个圆盘的交集

The fold-point locus is the intersection of the disks with diameters $AB$ and $BC$

解答：

对应两个顶点的折痕相交于它们与 $P$ 所成三角形的外心。当且仅当 $P$ 点处的角为钝角时，这个交点位于纸片外。因此，折叠点轨迹是分别以 $AB$ 、 $BC$ 和 $CA$ 为直径的三个圆盘的交集。以 $CA$ 为直径的圆盘包含整个直角三角形，所以只需保留以 $AB$ 和 $BC$ 为直径的两个圆盘的交集。

这里 $BC=\sqrt{72^2-36^2}=36\sqrt3$ 。两个相关圆的半径分别为 $18$ 和 $18\sqrt3$ ，它们的透镜形交集由圆心角分别为 $120^\circ$ 和 $60^\circ$ 的两个弓形组成。其面积为 $\begin{aligned}&\left(\frac\pi3\cdot18^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12\cdot18^2\sin120^\circ\right)\\&+\left(\frac\pi6(18\sqrt3)^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12(18\sqrt3)^2\sin60^\circ\right)\\&=270\pi-324\sqrt3\end{aligned}\text{。}$ 因此 $q+r+s$ 等于 $270+324+3=597$ 。

The creases for two vertices meet at the circumcenter of the triangle formed with $P.$ This intersection lies off the paper exactly when the angle at $P$ is obtuse, so the fold-point locus is the intersection of the three diameter disks for $AB,$ $BC,$ and $CA.$ The $CA$ disk contains the entire right triangle, leaving the intersection of the $AB$ and $BC$ disks.

Here $BC=\sqrt{72^2-36^2}=36\sqrt3.$ The two relevant radii are $18$ and $18\sqrt3,$ and their lens consists of circular segments with central angles $120^\circ$ and $60^\circ.$ Its area is $\begin{aligned}&\left(\frac\pi3\cdot18^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12\cdot18^2\sin120^\circ\right)\\&+\left(\frac\pi6(18\sqrt3)^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12(18\sqrt3)^2\sin60^\circ\right)\\&=270\pi-324\sqrt3.\end{aligned}$ Thus $q+r+s$ equals $270+324+3=597.$

1994 AIME 第 15 题

答案：597

难度评级：2840

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