Question

求 $w^2+x^2+y^2+z^2$ ，其中以下各式成立： $\begin{gathered} \frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1 \end{gathered}$

Determine $w^2+x^2+y^2+z^2$ if $\begin{gathered} \frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1. \end{gathered}$

答案

答案：36

知识点：分式方程多项式代数变形

难度评级：3060

小提示：

把四个左式看作同一个关于 $T$ 的有理函数在不同点的值

Regard the four left sides as values of one rational function in $T$

大提示：

比较 $\frac{1}{T}$ 的系数，并令 $T$ 趋于无穷大

Compare the coefficient of $\frac{1}{T}$ as $T$ tends to infinity

解答：

定义 $\begin{aligned} R(T)&=\frac{x^2}{T-1}+\frac{y^2}{T-9}\\ &\quad{}+\frac{z^2}{T-25}+\frac{w^2}{T-49}\\ &\quad{}-1 \end{aligned}\text{。}$ 并令 $\begin{aligned} N(T)&=(T-4)(T-16)\\ &\quad{}\cdot(T-36)(T-64),\\ D(T)&=(T-1)(T-9)\\ &\quad{}\cdot(T-25)(T-49) \end{aligned}\text{。}$ 通分至分母 $D(T)$ 后， $R(T)$ 的分子的首项系数为 $-1$ 。四个方程说明它的零点为 $4$ 、 $16$ 、 $36$ 和 $64$ 。因此 $R(T)=-\frac{N(T)}{D(T)}$ 。

令 $S=w^2+x^2+y^2+z^2$ 。当 $T$ 趋于无穷大时，定义式给出 $R(T)=-1+\frac{S}{T}+O(T^{-2})\text{。}$ 另一方面，分子的四个根之和为 $120$ ，分母的四个根之和为 $84$ ，所以因式分解形式给出 $\begin{aligned} R(T)&=-1+\frac{120-84}{T}\\ &\quad{}+O(T^{-2}) \end{aligned}\text{。}$ 因此 $w^2+x^2+y^2+z^2=36$ 。

Define $\begin{aligned} R(T)&=\frac{x^2}{T-1}+\frac{y^2}{T-9}\\ &\quad{}+\frac{z^2}{T-25}+\frac{w^2}{T-49}\\ &\quad{}-1. \end{aligned}$ Put $\begin{aligned} N(T)&=(T-4)(T-16)\\ &\quad{}\cdot(T-36)(T-64),\\ D(T)&=(T-1)(T-9)\\ &\quad{}\cdot(T-25)(T-49). \end{aligned}$ With common denominator $D(T),$ the numerator of $R(T)$ has leading coefficient $-1.$ The four equations say its zeros are $4,$ $16,$ $36,$ and $64.$ Therefore $R(T)=-\frac{N(T)}{D(T)}.$

Let $S=w^2+x^2+y^2+z^2.$ As $T$ tends to infinity, the defining expression gives $R(T)=-1+\frac{S}{T}+O(T^{-2}).$ On the other hand, the sum of the four numerator roots is $120,$ while the sum of the four denominator roots is $84,$ so the factored expression gives $\begin{aligned} R(T)&=-1+\frac{120-84}{T}\\ &\quad{}+O(T^{-2}). \end{aligned}$ Hence $w^2+x^2+y^2+z^2=36.$

1984 AIME 第 15 题

答案：36

难度评级：3060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题