Question

反复抛掷一枚公平硬币。设 $p$ 为连续出现 $5$ 个正面早于连续出现 $2$ 个反面的概率。已知 $p$ 可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m+n$ 。

Let $p$ be the probability that, in the process of repeatedly flipping a fair coin, one will encounter a run of $5$ heads before one encounters a run of $2$ tails. Given that $p$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

答案

答案：37

知识点：递推概率过程模拟基本概率

难度评级：2210

小提示：

为连续出现 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 个正面分别设置状态，并为末尾恰有一个反面的情况另设一个状态

Use states for $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ and $4$ consecutive heads and one separate state for a single trailing tail

大提示：

把每个连续正面状态的成功概率用末尾单个反面状态的概率表示

Express every head-run state’s success probability in terms of the trailing-tail state

解答：

令 $q_i$ 表示已经连续出现 $i$ 个正面且末尾没有反面时的成功概率，并令 $t$ 表示出现一个反面后的成功概率。那么 $\begin{aligned}q_i&=\frac{q_{i+1}+t}{2}\quad(0\leq i<4),\\q_4&=\frac{1+t}{2},\\t&=\frac{q_1}{2}\end{aligned}\text{。}$ 从后向前计算得到 $q_1=\frac{1+15t}{16}$ 。由于 $q_1=2t$ ，可得 $t=\frac{1}{17}$ 和 $q_1=\frac{2}{17}$ 。因此 $p=q_0=\frac{q_1+t}{2}=\frac3{34}\text{，}$ 所以 $m+n=3+34=37$ 。

Let $q_i$ be the success probability with $i$ consecutive heads and no trailing tail, and let $t$ be the probability after one tail. Then $\begin{aligned}q_i&=\frac{q_{i+1}+t}{2}\quad(0\leq i<4),\\q_4&=\frac{1+t}{2},\\t&=\frac{q_1}{2}.\end{aligned}$ Working backward gives $q_1=\frac{1+15t}{16}.$ Since $q_1=2t,$ we get $t=\frac{1}{17}$ and $q_1=\frac{2}{17}.$ Therefore $p=q_0=\frac{q_1+t}{2}=\frac3{34},$ so $m+n=3+34=37.$

1995 AIME 第 15 题

答案：37

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题