Question

已知 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 是实数，且满足 $x = \sqrt{y^2 - \frac{1}{16}} + \sqrt{z^2 - \frac{1}{16}}\text{，}$ $y = \sqrt{z^2 - \frac{1}{25}} + \sqrt{x^2 - \frac{1}{25}}\text{，}$ $z = \sqrt{x^2 - \frac{1}{36}} + \sqrt{y^2 - \frac{1}{36}}\text{。}$ 又已知 $x + y + z = \frac{m}{\sqrt{n}}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n$ 。

Given that $x,$ $y,$ and $z$ are real numbers that satisfy $x = \sqrt{y^2 - \frac{1}{16}} + \sqrt{z^2 - \frac{1}{16}},$ $y = \sqrt{z^2 - \frac{1}{25}} + \sqrt{x^2 - \frac{1}{25}},$ $z = \sqrt{x^2 - \frac{1}{36}} + \sqrt{y^2 - \frac{1}{36}},$ and that $x + y + z = \frac{m}{\sqrt{n}},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n.$

答案

答案：9

知识点：方程组高线海伦公式

难度评级：3370

小提示：

将 $\sqrt{y^2 - \frac{1}{16}}$ 理解为一个直角三角形的直角边，其中斜边为 $y$ ，另一条直角边为 $\frac{1}{4}$ 。

Interpret $\sqrt{y^2 - \frac{1}{16}}$ as a leg of a right triangle with hypotenuse $y$ and other leg $\frac{1}{4}.$

大提示：

构造一个边长为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的三角形，其高分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{5}$ 、 $\frac{1}{6}$ 。则 $x = 8K$ 、 $y = 10K$ 、 $z = 12K$ ，其中面积为 $K$ ；使用海伦公式。

Build a triangle with sides $x,$ $y,$ $z$ whose altitudes are $\frac{1}{4},$ $\frac{1}{5},$ $\frac{1}{6}.$ Then $x = 8K,$ $y = 10K,$ $z = 12K$ with area $K;$ use Heron.

解答：

每个根式 $\sqrt{y^2 - \frac{1}{16}}$ 都可看作一个直角三角形的直角边，其中斜边为 $y$ ，另一条直角边为 $\frac{1}{4}$ 。因此第一个方程表示：在一个三角形 $XYZ$ 中，令 $x = YZ$ 、 $y = ZX$ 、 $z = XY$ ，从 $X$ 作出的高为 $\frac{1}{4}$ ，且高的垂足把 $YZ$ 分成两个根式长度。其他方程说明到边 $y$ 和 $z$ 的高分别为 $\frac{1}{5}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

若 $K$ 为这个三角形的面积，则 $K = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{4}$ 给出 $x = 8K$ ，同理 $y = 10K$ ， $z = 12K$ 。它们与 $8, 10, 12$ 成比例，且 $8^2 + 10^2 \gt 12^2$ ，所以三角形为锐角三角形，高的垂足确实落在边内。海伦公式配合 $s = 15K$ 给出 $\begin{aligned} K^2 &= 15K \cdot 7K \cdot 5K \cdot 3K \\ &= 1575K^4 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $K^2 = \frac{1}{1575}$ ，且 $K = \frac{1}{15\sqrt{7}}$ 。

于是 $x + y + z = 30K = \frac{2}{\sqrt{7}}$ ，所以 $m + n = 2 + 7 = 9$ 。

Each radical $\sqrt{y^2 - \frac{1}{16}}$ is the leg of a right triangle with hypotenuse $y$ and other leg $\frac{1}{4}.$ So the first equation says: in a triangle $XYZ$ with $x = YZ,$ $y = ZX,$ $z = XY,$ the altitude from $X$ has length $\frac{1}{4},$ and its foot splits $YZ$ into the two radical lengths. The other equations say the altitudes to sides $y$ and $z$ are $\frac{1}{5}$ and $\frac{1}{6}.$

If $K$ is the area of this triangle, then $K = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{4}$ gives $x = 8K,$ and likewise $y = 10K$ and $z = 12K.$ These are proportional to $8, 10, 12,$ and $8^2 + 10^2 \gt 12^2,$ so the triangle is acute and the altitude feet do land inside the sides. Heron’s formula with $s = 15K$ gives $\begin{aligned} K^2 &= 15K \cdot 7K \cdot 5K \cdot 3K \\ &= 1575K^4, \end{aligned}$ so $K^2 = \frac{1}{1575}$ and $K = \frac{1}{15\sqrt{7}}.$

Then $x + y + z = 30K = \frac{2}{\sqrt{7}},$ so $m + n = 2 + 7 = 9.$

2006 AIME II 第 15 题

答案：9

难度评级：3370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题