Question

若实数 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 和 $y$ 满足下列方程，求 $ax^5+by^5$ 的值： $\begin{aligned}ax+by&=3,\\ax^2+by^2&=7,\\ax^3+by^3&=16,\\ax^4+by^4&=42\end{aligned}\text{。}$

Find $ax^5+by^5$ if the real numbers $a,$ $b,$ $x,$ and $y$ satisfy the equations $\begin{aligned}ax+by&=3,\\ax^2+by^2&=7,\\ax^3+by^3&=16,\\ax^4+by^4&=42.\end{aligned}$

答案

答案：20

知识点：递推方程组对称性（代数）

难度评级：2270

小提示：

令 $S_k=ax^k+by^k$ ，并利用 $x+y$ 和 $xy$ 推导递推式

Let $S_k=ax^k+by^k$ and derive a recurrence using $x+y$ and $xy$

大提示：

先用 $S_3$ 和 $S_4$ 求出两个递推系数，再计算 $S_5$

Use $S_3$ and $S_4$ to solve for the two recurrence coefficients before computing $S_5$

解答：

令 $S_k=ax^k+by^k$ 、 $p=x+y$ 和 $q=xy$ 。由于 $x$ 与 $y$ 都满足 $t^2=pt-q$ ，所以 $S_{k+2}=pS_{k+1}-qS_k\text{。}$ 代入 $S_1=3$ 、 $S_2=7$ 、 $S_3=16$ 和 $S_4=42$ ，得到 $\begin{aligned}7p-3q&=16,\\16p-7q&=42\end{aligned}\text{。}$ 解得 $p=-14$ ，且 $q=-38$ 。因此 $\begin{aligned}S_5&=pS_4-qS_3\\&=-14(42)+38(16)\\&=20\end{aligned}\text{。}$

Let $S_k=ax^k+by^k,$ $p=x+y,$ and $q=xy.$ Since $x$ and $y$ each satisfy $t^2=pt-q,$ $S_{k+2}=pS_{k+1}-qS_k.$ Using $S_1=3,$ $S_2=7,$ $S_3=16,$ and $S_4=42$ gives $\begin{aligned}7p-3q&=16,\\16p-7q&=42.\end{aligned}$ Solving yields $p=-14$ and $q=-38.$ Therefore $\begin{aligned}S_5&=pS_4-qS_3\\&=-14(42)+38(16)\\&=20.\end{aligned}$

1990 AIME 第 15 题

答案：20

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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